Электрический ток. Сопротивление. Треугольник - Звезда. Температурная зависимость сопротивления

Закон сохранения заряда

Все наши дальнейшие изыскания будет строиться, в том числе, на законе сохранения заряда. Во всех областях физики законы сохранения это фундаментальные и крайне удобные в использовании правила, не стала исключением и электродинамика.

Закон сохранения заряда формулируется так: алгебраическая сумма зарядов в любой замкнутой системе неизменна.

Обратимся теперь, непосредственно, к проводникам и выведем так называемое первое правило Кирхгофа. В ходе следующих лекций, мы выведем, конечно, и второе, но пока придётся удовольствоваться одним.

Для наиболее правильной формулировки нам потребуется ввести термин узел. Узел это, если говорить не слишком строго, место пересечения нескольких проводников. Соответственно, по некоторым проводникам ток может поступать в узел, по другим же, наоборот, выходить из узла. Первое правило Кирхгофа гласит, что сумма поступающих в узел токов равна сумме токов, вытекающих из узла. Действительно, если бы это правило не выполнялось, то часть заряда бы исчезала или, наоборот, появлялась из ниоткуда, что, конечно, запрещено законом сохранения заряда.

Последовательное и параллельное соединение проводников. Преобразование <<треугольник-звезда>>

В конце прошлой лекции мы определились с тем, что такое электрическое сопротивление, как оно связывает силу тока и напряжение, а также, как оно определяется из геометрических параметров проводника.

Теперь обсудим способы соединения проводников между собой и, в конечном счёте, выведем соответствующие формулы. На электросхеме проводник с неизменным сопротивлением r обозначается одним из следующих вариантов:

2.1 Поговорим о соединении между собой двух проводников с сопротивлением (обычно их называют резисторами). Соединение двух проводников может быть представлено одним из двух вариантов: (тот, что слева называется последовательным соединением резисторов, тот что справа – параллельным)

2.2 Разберём вариант последовательного соединения. Согласно первому правилу Кирхгофа (или закону сохранения заряда, как угодно) сила тока, идущего через эти резисторы, одинакова. Вспомним теперь, работа потенциальной силы не зависит от траектории, а значит, можно сказать, что общее напряжение U = U_1 + U_2. Соберём систему уравнений:

\begin{cases}

&U = U_1 + U_2 \\

&I = I_1 \\

&I = I_2 \\

&U_1 = r I_1 \\

&U_2 = R I_2

\end{cases} Собирая всё вместе, получаем:

U = I (r + R) \ \Rightarrow \ R_{общ} = r + R. В случае, если резисторов больше двух, но все они соединены последовательно, формула тоже справедлива и обобщается как R_{общ} = R_1 + R_2 + R_3 + ...

Разберём вариант параллельного соединения. Согласно первому правилу Кирхгофа (или закону сохранения заряда, как угодно) сила тока, идущего через соединение резисторов, равна сумме токов, идущих через резисторы. Вспомним теперь, работа потенциальной силы не зависит от траектории, а значит, можно сказать, что общее напряжение U = U_1 = U_2. Соберём систему уравнений:

\begin{cases}

&I = I_1 + I_2 \\

&U = U_1 \\

&U = U_2 \\

&U_1 = r I_1 \\

&U_2 = R I_2

\end{cases} Собирая всё вместе, получаем:

I = U (\frac{1}{r} + \frac{1}{R}) \ \Rightarrow \ \frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{R}. В случае, если резисторов больше двух, но все они соединены параллельно, формула тоже справедлива и обобщается как \frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + ...

Теперь мы можем с уверенностью сказать, что зная сопротивление двух резисторов (или двух схем из резисторов), мы можем установить сопротивление любого их соединения. Однако, существуют способы соединения трёх резисторов, которые не сводятся (напрямую) к параллельному или последовательному соединению. Оба этих способа со своими названиями представлены ниже.

2.3 Между двумя этими, очевидно разными, схемами существует способ эквивалентного перехода. Иначе говоря, для каждой <<звезды>> возможно придумать <<треугольник>> между выводами (точками A, B, C) которого (соответственно), такие же сопротивления, как у звезды. Верно и обратное.

В <<звезде>> сопротивление между точками A и C равно сумме

R_A + R_C (это последовательное соединение). В <<треугольнике>> сопротивление между точками A и C равно выражению

\frac{R_{AC} \cdot (R_{AB} + R_{BC})}{R_{AC} + R_{BC} + R_{AB}} (это параллельное соединение). Так как мы ищем эквивалентное преобразование, получается, что

\frac{R_{AC} \cdot (R_{AB} + R_{BC})}{R_{AC} + R_{BC} + R_{AB}} = R_A + R_C. Аналогично для остальных выводов:

\frac{R_{AB} \cdot (R_{BC} + R_{AC})}{R_{AC} + R_{BC} + R_{AB}} = R_A + R_B. \frac{R_{BC} \cdot (R_{AB} + R_{AC})}{R_{AC} + R_{BC} + R_{AB}} = R_B + R_C.

Решая систему уравнений относительно R_{AB}, R_{BC}, R_{AC} получим формулы для преобразования из <<звезды>> в <<треугольник>>:

\begin{cases}

& R_{AB} = R_A + R_B + \frac{R_A \cdot R_B}{R_C} \\

& R_{AC} = R_A + R_C + \frac{R_A \cdot R_C}{R_B} \\

& R_{BC} = R_B + R_C + \frac{R_B \cdot R_C}{R_A}

\end{cases}. Решая систему уравнений относительно R_A, R_B, R_C получим формулы для преобразования из <<звезды>> в <<треугольник>>:

\begin{cases}

& R_A = \frac{R_{AB} \cdot R_{AC}}{R_{AC} + R_{BC} + R_{AB}} \\

& R_B = \frac{R_{AB} \cdot R_{BC}}{R_{AC} + R_{BC} + R_{AB}} \\

& R_C = \frac{R_{AC} \cdot R_{BC}}{R_{AC} + R_{BC} + R_{AB}}

\end{cases}.