Электрический ток. Сопротивление. Треугольник - Звезда. Температурная зависимость сопротивления

Температурная зависимость сопротивления

Как мы уже постулировали в прошлой лекции, для большинства металлов – чем больше температура, тем больше сопротивление. Сегодня мы рассмотрим формульный вид этой зависимости: R = R_0(1 + \alpha (T - T_0)), где R_0 это сопротивление проводника при температуре T_0 , R это сопротивление проводника при температуре T , a \alpha это постоянный коэффициент, называемый температурным коэффициентом сопротивления. Стоит оговориться, что это лишь в диапазоне температур, которые могут считать обычными для металла. Например, для сверхнизких температур это не выполняется в точности. Чтобы лучше понять, в каких ситуациях эта зависимость может пригодиться, обратимся к задаче.

Задача 1

Условие

Два цилиндрических проводника разной длины, но одинакового диаметра, изготовлены из меди. Их сопротивления и температуры (в градусах Цельсия) соответственно равны: R_1, R_2, t_1, t_2 . Проводники соединяют плоскими гранями. Каким окажется сопротивление составного проводника после того, как температуры его частей выровняются? Теплообменом с окружающей средой и тепловым расширением меди необходимо пренебречь.

Решение

Сопротивление R_{\mathrm{i}} цилиндров пропорционально их длине, как и их теплоемкость C_{\mathrm{i}} . Следовательно,

\frac{R_1}{R_2}=\frac{C_1}{C_2}. Запишем уравнение теплового баланса:

C_1 t_1+C_2 t_2=\left(C_1+C_2\right) t. Из него, с учётом предыдущего получим:

t=\frac{C_1 t_1+C_2 t_2}{C_1+C_2}=\frac{R_1 t_1+R_2 t_2}{R_1+R_2}. Изменение температуры первого цилиндра

\Delta t_1=t-t_1=\frac{R_2\left(t_2-t_1\right)}{R_1+R_2}; \quad \Delta t_2=t-t_2=\frac{R_1\left(t_1-t_2\right)}{R_1+R_2}. Изменение сопротивления первого цилиндра

\Delta R_1=R_1 \beta \Delta t_1=\beta \frac{R_1 R_2\left(t_2-t_1\right)}{R_1+R_2} . Изменение сопротивления второго цилиндра

\Delta R_2=R_2 \beta \Delta t_2=\beta \frac{R_1 R_2\left(t_1-t_2\right)}{R_1+R_2} . Изменение сопротивления составного цилиндра \Delta R=\Delta R_1+\Delta R_2=0 .

Следовательно, сопротивление составного цилиндра при нагреве не изменится и будет равно

R=R_1+R_2. Ответ R=R_1+R_2.

Анонс

В следующей лекции мы, к сожалению, обесценим многие достижения этой лекции, потому что введём второе правило Кирхгофа, позволяющее упростить расчёт сопротивлений и избежать использования, например, преобразования <<треугольник-звезда>>. Впрочем, это, скорее, хорошая новость.