Электрический ток. Сопротивление. Треугольник - Звезда. Температурная зависимость сопротивления

Температурная зависимость сопротивления Как мы уже постулировали в прошлой лекции, для большинства металлов – чем больше температура, тем больше сопротивление. Сегодня мы рассмотрим формульный вид этой зависимости: $$R = R_0(1 + \alpha (T - T_0)),$$ где $R_0$ это сопротивление проводника при температуре $T_0$, $R$ это сопротивление проводника при температуре $T$, a $\alpha$ это постоянный коэффициент, называемый температурным коэффициентом сопротивления. Стоит оговориться, что это лишь в диапазоне температур, которые могут считать обычными для металла. Например, для сверхнизких температур это не выполняется в точности. Чтобы лучше понять, в каких ситуациях эта зависимость может пригодиться, обратимся к задаче. Задача 1 Условие Два цилиндрических проводника разной длины, но одинакового диаметра, изготовлены из меди. Их сопротивления и температуры (в градусах Цельсия) соответственно равны: $R_1, R_2, t_1, t_2$. Проводники соединяют плоскими гранями. Каким окажется сопротивление составного проводника после того, как температуры его частей выровняются? Теплообменом с окружающей средой и тепловым расширением меди необходимо пренебречь. Решение Сопротивление $R_{\mathrm{i}}$ цилиндров пропорционально их длине, как и их теплоемкость $C_{\mathrm{i}}$. Следовательно, $$ \frac{R_1}{R_2}=\frac{C_1}{C_2}. $$ Запишем уравнение теплового баланса: $$C_1 t_1+C_2 t_2=\left(C_1+C_2\right) t.$$ Из него, с учётом предыдущего получим: $$t=\frac{C_1 t_1+C_2 t_2}{C_1+C_2}=\frac{R_1 t_1+R_2 t_2}{R_1+R_2}.$$ Изменение температуры первого цилиндра $$ \Delta t_1=t-t_1=\frac{R_2\left(t_2-t_1\right)}{R_1+R_2}; \quad \Delta t_2=t-t_2=\frac{R_1\left(t_1-t_2\right)}{R_1+R_2}. $$ Изменение сопротивления первого цилиндра $$ \Delta R_1=R_1 \beta \Delta t_1=\beta \frac{R_1 R_2\left(t_2-t_1\right)}{R_1+R_2} . $$ Изменение сопротивления второго цилиндра $$ \Delta R_2=R_2 \beta \Delta t_2=\beta \frac{R_1 R_2\left(t_1-t_2\right)}{R_1+R_2} . $$ Изменение сопротивления составного цилиндра $\Delta R=\Delta R_1+\Delta R_2=0$. Следовательно, сопротивление составного цилиндра при нагреве не изменится и будет равно $$ R=R_1+R_2. $$ Ответ $ R=R_1+R_2. $ Анонс В следующей лекции мы, к сожалению, обесценим многие достижения этой лекции, потому что введём второе правило Кирхгофа, позволяющее упростить расчёт сопротивлений и избежать использования, например, преобразования <<треугольник-звезда>>. Впрочем, это, скорее, хорошая новость.