Пирамиды. Часть 1.: Часть 5

Видео

Конспект

Правильные четырёхугольные пирамиды

Задача. Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 24 , высота равна 4 . Найдите боковое ребро пирамиды.

89 Рис. 7: Иллюстрация к задаче

Решение.

Обозначим пирамиду SABCD , SH – высота, H – центр квадрата ABCD (см. рис. 7).

По формуле объёма: V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH \quad\Rightarrow\quad 24 = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot 4. Отсюда S_{ABCD} = 18 .

Так как основание – квадрат, то его сторона AB : AB^2 = 18 \quad\Rightarrow\quad AB = 3\sqrt{2}.

Диагональ квадрата AC = AB\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 6 .

Точка H – середина диагонали, поэтому AH = \frac{AC}{2} = 3 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник SAH (так как SH \perp (ABC) ). В нём: SH = 4,\quad AH = 3. По теореме Пифагора: SA = \sqrt{SH^2 + AH^2} = 5.

Задача. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SH = 6 , боковое ребро SA = 10 . Найдите объём пирамиды.

90 Рис. 8: Иллюстрация к задаче

Решение.

В прямоугольном треугольнике SAH известны гипотенуза SA = 10 и катет SH = 6 . Найдём AH : AH = \sqrt{SA^2 - SH^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8.

Так как H – центр квадрата, то AH – половина диагонали основания. Значит, полная диагональ AC = 2 \cdot 8 = 16 .

Найдем площадь треугольника AHD : S_{AHD} = \frac{1}{2}AH\cdot DH = 32. Отсюда получаем площадь квадрата S_{ABCD} = 4\cdot 32 = 128.

Объём пирамиды: V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 6 = 128 \cdot 2 = 256.