Параллелепипеды. Часть 2.: Часть 1

Видео

Конспект

Угол между диагональю и гранью прямоугольного параллелепипеда

Задача. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 даны: AD = a , CD = b , объём параллелепипеда равен V . Найти угол \varphi между диагональю BD_1 и плоскостью основания ABC .

30 Рис. 7: Иллюстрация к решению

Решение. Найдем третье ребро. Обозначим DD_1 = c . Объём прямоугольного параллелепипеда: V=abc . Отсюда получаем c = \frac{V}{ab}. Найдем проекцию диагонали D_1B на плоскость (ABC) . Плоскость ABC – нижнее основание. Точка B уже лежит в этой плоскости. Проекция точки D_1 на плоскость ABC – точка D , так как DD_1 \perp (ABC) (боковое ребро перпендикулярно основанию). Следовательно, проекция отрезка BD_1 на плоскость ABC есть отрезок BD .

По определению, угол между прямой BD_1 и плоскостью (ABC) равен углу между этой прямой и её проекцией BD : \varphi = \angle(BD_1, (ABC)) = \angle D_1BD. Рассмотрим прямоугольный треугольник D_1BD . В этом треугольнике:

катет DD_1 = c ,

катет BD находим из прямоугольного треугольника ABD (основание): BD = \sqrt{a^2 + b^2}.

Отсюда получаем \tg \varphi = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{V}{ab\sqrt{a^2+b^2}}, \varphi = \arctg \frac{V}{ab \sqrt{a^2+b^2}}.

Задача на построение сечения и нахождение его площади

Задача. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 даны ребра: AB=4 , AD=3 , AA_1=5 . Найти угол \angle DBD_1 .

31 Рис. 8: Иллюстрация к решению

Решение. Плоскость ABC — нижнее основание. Точка B уже лежит в этой плоскости. Проекция точки D_1 на плоскость ABC — точка D , так как DD_1 \perp (ABC) (боковое ребро перпендикулярно основанию). Следовательно, проекция отрезка BD_1 на плоскость ABC есть отрезок BD .

По определению угла между прямой и плоскостью: \angle DBD_1 = \angle (BD_1, (ABC)). Рассмотрим прямоугольный треугольник D_1BD . В нём:

катет DD_1 = AA_1 = 5 ,

катет BD находим по теореме Пифагора в основании ABCD : BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5.

Получаем, что DD_1 = BD = 5 , значит треугольник D_1BD прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, острые углы равны по 45^\circ .