Параллелепипеды. Часть 2.: Часть 2

Видео

Конспект

Задача. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 даны рёбра: AB=6 , AD=8 , AA_1=4 . Через середины рёбер DC , D_1C_1 и BC проведено сечение. Найдите его площадь.

Решение. Сечением многогранника называется плоская фигура, образованная пересечением многогранника с плоскостью, не совпадающей ни с одной гранью. Это многоугольник, вершины которого лежат на рёбрах, а стороны – на гранях.

32 Рис. 9: Иллюстрация к решению

Основные приёмы построения сечений:

Соединять точки сечения, лежащие в одной грани. Отрезок между ними будет стороной сечения.

Продлевать построенные отрезки до пересечения с рёбрами (если это даёт новые точки сечения).

Через точку сечения проводить прямую, параллельную уже построенному отрезку сечения – такая прямая тоже принадлежит плоскости сечения.

Построим указанное в условии задачи сечения. Обозначим середины: K – середина DC , L – середина D_1C_1 , M – середина BC .

Соединяем K и L (лежат в грани DCC_1D_1 ) – получаем отрезок KL .

Соединяем K и M (лежат в грани ABCD ) – получаем отрезок KM .

Через точку M проводим прямую, параллельную KL (вертикальную), до пересечения с ребром B_1C_1 в точке N . По правилу 3 эта прямая принадлежит сечению, значит N – вершина сечения.

Теперь нужно убедиться, что N – именно середина B_1C_1 (чтобы замкнуть сечение). Рассмотрим два выносных чертежа: нижнее основание ABCD и верхнее A_1B_1C_1D_1 .

33 Рис. 10: Иллюстрация к решению

В ABCD : L – середина DC , K – середина BC . Значит, LK – средняя линия в треугольнике DCB , поэтому LK \parallel DB и LK = \frac12 DB . При этом: DC = AB = 6 \Rightarrow DL = LC = 3, \quad BC = AD = 8 \Rightarrow BK = KC = 4. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике LCK : LK = \sqrt{LC^2 + CK^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.

В верхнем основании A_1B_1C_1D_1 : M – середина D_1C_1 , следовательно D_1M = MC_1 = 3 . По построению MN \parallel LK . Кроме того, D_1C_1 \parallel DC , поэтому углы между MN и D_1C_1 равны углам между LK и DC (соответственные углы при параллельных). Треугольники LCK и MNC_1 прямоугольные и имеют равный острый угол, а также равный катет LC = MC_1 = 3 . Значит, они равны, следовательно CK = C_1N = 4 . Так как B_1C_1 = BC = 8 , то C_1N = 4 означает, что N – середина B_1C_1 .

Теперь соединяем K и N (они лежат в грани BCC_1B_1 ) – получаем четвёртую сторону сечения.

Итак, искомое сечение – четырёхугольник KLMN .

Докажем, что KLMN – прямоугольник:

LK \parallel MN (по построению).

Рассмотрим грань DCC_1D_1 . На ней точки L и M – середины DC и D_1C_1 соответственно. Отрезок LM соединяет середины противоположных сторон, значит LM \parallel DD_1 и LM = DD_1 = AA_1 = 4 .

DD_1 \perp (ABCD) , а LK \subset (ABCD) , значит DD_1 \perp LK . Поскольку LM \parallel DD_1 , то LM \perp LK .

Аналогично доказывается, что LM \parallel KN (оба параллельны DD_1 ) и KN \perp MN , KN \perp LK .

34 Рис. 11: Иллюстрация к решению

Таким образом, все углы четырёхугольника KLMN прямые, значит это прямоугольник.

Итак, все необходимые нам стороны найдены:

LM = AA_1 = 4 (высота параллелепипеда).

LK = 5 (найдено ранее).

Площадь прямоугольника: S = LM \cdot LK = 4 \cdot 5 = 20.