Круглые тела. Часть 2.: Часть 1

Видео

Конспект

Конус: определения и основные формулы

Коническая поверхность образуется множеством прямых (образующих), проходящих через одну точку (вершину) и пересекающих некоторую кривую (направляющую). В отличие от цилиндрической, образующие не параллельны, а все пересекаются в вершине (см. рис. 1).

Если в качестве направляющей взять окружность, а вершину спроецировать в центр этой окружности, то получим прямой круговой конус. Такое тело ограничено конической поверхностью и плоскостью основания (кругом).

122 Рис. 1: Пример конической поверхности

Далее мы будем рассматривать прямые круговые конусы.

Основные элементы прямого кругового конуса:

Вершина S ,

Центр основания O ,

Высота SO = h (перпендикуляр из вершины к плоскости основания),

Радиус основания OA = r ,

Образующая SA (отрезок, соединяющий вершину с любой точкой окружности основания). Длина образующей l^2 = r^2 + h^2 .

Основные формулы

Объём конуса: V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \pi r^2 h. (Формула аналогична объёму пирамиды.)

Площадь боковой поверхности: S_{бок} = \pi r l. Выводится через развёртку конуса – сектор круга радиуса l с длиной дуги 2\pi r , см. рис. 2: S_{бок} = \frac{\frac{2\pi r}{l}}{2} \cdot l^2 = \pi rl.

Площадь полной поверхности: S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi r l + \pi r^2.

123 Рис. 2: Иллюстрация к формуле

Замечание об осевом сечении конуса. Плоскость, проходящая через ось конуса (высоту SO ), пересекает конус по равнобедренному треугольнику, основание которого равно диаметру основания ( 2r ), а боковые стороны равны образующим ( l ).

Конус: задачи на объём и площадь поверхности

Задача. Высота конуса равна SO=6 , образующая равна SA=10 . Найдите объём конуса (и V/\pi ).

124 Рис. 3: Иллюстрация к решению

Решение.

По теореме Пифагора в треугольнике SOA ( SO = h = 6 , SA = l = 10 ): r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{100 - 36} = 8.

Объём: V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 64 \cdot 6 = 128\pi.

Если требуется V/\pi , то ответ 128 .

Задача.

Во сколько раз уменьшится объём конуса, если высоту уменьшить в 3 раза, а радиус оставить прежним?

Во сколько раз уменьшится объём конуса, если радиус основания уменьшить в 3 раза, а высоту оставить прежней?

Решение. Пусть исходный объем равен V_0 = \frac{\pi r^2h}{3}. Новый конус имеет высоту \frac{h}{3} . Отсюда получаем новый объем: V_1 = \frac{\pi\cdot r^2 \frac{h}{3}}{3} = \frac{1}{3} \frac{\pi r^2 h}{3} = \frac{1}{3}V_0. С другой стороны, если радиус основания уменьшить в три раза, а высоту оставить прежней, то V_2 = \frac{\pi \left( \frac{r}{3} \right)^2 h}{3} = \frac{1}{9} \frac{\pi r^2 h}{3} = \frac{1}{9}V_0.

Задача. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если образующую увеличить в 3 раза, а радиус основания оставить прежним?

Решение. Формула площади боковой поверхности: S_0 = \pi rl. Таким образом, после увеличения образующей получаем S_1 = \pi r\cdot 3l = 3S_0.

Задача. Высоту и радиус основания конуса одновременно увеличили в 5 раз. Во сколько раз изменятся его объем и площадь боковой поверхности?

Решение. Исходный объем: V_0 = \frac{\pi r^2 h}{3}. После изменения высоты и радиуса объем: V_1 = \frac{\pi \cdot \left( 5r \right) ^2\cdot 5h}{3} = 125\cdot V_0. Площадь боковой поверхности зависит от длины образующей, поэтому сперва нам надо найти новую образующую. Исходная длина образующей: l_0^2 = h^2+r^2. Длина образующей после увеличения высоты и радиуса: l_1^2 = \left( 5h \right)^2 + \left( 5r \right) ^2 = \left( 5l_0 \right)^2. Отсюда получаем выражение для новой площади боковой поверхности: S_1 = \pi \cdot 5r\cdot 5 l_0 = 25S_0.