Круглые тела. Часть 2.: Часть 3

Видео

Конспект

Конус: задачи на объем, площади и сечения

Задача. Дан конус с высотой SO = 12 и радиусом основания OA = 9 . От него отрезан сектор с углом \alpha = 90^\circ = \frac{\pi}{2} (как показано на рис. 8). Найдите объём оставшейся части.

129 Рис. 8: Иллюстрация к задаче

Решение. Оставшийся угол (сектор, который остался) равен \varphi = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} . Объём оставшейся части: V = \frac{1}{3}h \cdot S_{осн} = \frac{1}{3} \cdot h\cdot \frac{\left( 2\pi - \alpha \right)}{2} \cdot r^2 = \frac{1}{6}\cdot 12\cdot 81\cdot \frac{3\pi}{2} = 243\pi.

Задача. SO = 27 , OA = 12 , угол отрезанного сектора \alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} . Найдите объём отрезанной части.

Решение. Аналогично предыдущей задаче рассчитаем объем оставшейся части, учтя вырез в площади основания: V = \frac{1}{3}hr^2 \cdot \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}\cdot 27\cdot 12^2 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi \cdot \frac{27\cdot 12\cdot 12}{6\cdot 3} = \pi\cdot 9\cdot 24 = 216 \pi.

Задача. Радиус основания конуса r = 3 , образующая l = 5 . Найдите площадь осевого сечения.

130 Рис. 9: Иллюстрация к задаче

Решение. Изобразим осевое сечение на рис. 10.

131 Рис. 10: Иллюстрация к решению

Рассмотрим треугольник SAB (рис. 10). Отсюда по теореме Пифагора находим SO=4 . Отсюда сразу следует площадь осевого сечения S = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 .

Задача. В конусе площадь осевого сечения равна 16 . Через хорду основания, опирающуюся на центральный угол 120^\circ = \frac{2\pi}{3} , проведено сечение, перпендикулярное основанию. Найдите площадь этого сечения.

132 Рис. 11: Иллюстрация к решению

133 Рис. 12: Иллюстрация к решению

134 Рис. 13: Иллюстрация к решению

Решение. Осевое сечение – треугольник SAB с основанием 2r и высотой h . Сечение TPR имеет высоту TQ , где Q – середина хорды PR . Из построения (см. рис. 11) получаем, что TQ = \frac{1}{2} SO = \frac{h}{2} (так как Q – середина отрезка OK , а TQ параллельна SO и является средней линией в треугольнике SOK ).

Найдем PQ из треугольника OPQ (рис. 13): PQ = r\cdot \sin 60^\circ = \frac{r \sqrt{3}}{2}. Хорда PR опирается на угол 120^\circ (см. рис. 13). Её длина: PR = r \sqrt{3}. Формула площади осевого сечения имеет следующий вид: S_{ос.сеч} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h = rh. С другой стороны, площадь треугольника TPR : S_{TPR} = \frac{1}{2} TQ \cdot PR = \frac{1}{2}\cdot \frac{h}{2}\cdot r \sqrt{3} = hr \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = S_{ос.сеч} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 4\cdot \sqrt{3}.