Многогранники. Часть 2.: Часть 1

Видео

Конспект

Задача на квадраты расстояний в параллелепипеде с вырезом

Задача. Дан многогранник, полученный из прямоугольного параллелепипеда путём удаления прямоугольного параллелепипеда (рис. 12).

47 Рис. 12: Иллюстрация к задаче

Найти квадраты расстояний AB^2 , AC^2 , BC^2 .

Решение. Точки B и C лежат в одной грани, которая является прямоугольником со сторонами 2 и 3 . По теореме Пифагора на плоскости: BC^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13. Найдем AB^2 . Строим ломаную A \to K \to L \to B , все три звена которой попарно перпендикулярны (рис. 13).

48 Рис. 13: Иллюстрация к решению

Длины звеньев: AK = 5 , KL = 1 , LB = 6 . По пространственной теореме Пифагора (обобщение плоской теоремы на три взаимно перпендикулярных направления): AB^2 = AK^2 + KL^2 + LB^2 = 5^2 + 1^2 + 6^2 = 25 + 1 + 36 = 62. Аналогично строим ломаную A \to M \to N \to C с попарно перпендикулярными звеньями: AM = 4 , MN = 2 , NC = 1 (рис. 14).

49 Рис. 14: Иллюстрация к решению

Тогда: AC^2 = AM^2 + MN^2 + NC^2 = 4^2 + 2^2 + 1^2 = 16 + 4 + 1 = 21.