Многогранники. Часть 2.: Часть 3

Видео

Конспект

Задача на расстояния и углы в многограннике из кубов

Задача. Дан многогранник, составленный из четырёх единичных кубов (см. рис. 17). Размеры: сторона каждого куба равна 1 . Найти DD_2 , \angle FCD_2 .

52 Рис. 17: Иллюстрация к задаче

Решение. Рассмотрим ломаную D \to E \to F \to D_2 . Её звенья попарно перпендикулярны:

DE = 1 (ребро куба),

EF = 2 (два куба подряд),

FD_2 = 2 (высота до верхнего слоя).

Все три отрезка взаимно перпендикулярны (доказывается через параллельность рёбрам куба). По пространственной теореме Пифагора: DD_2^2 = DE^2 + EF^2 + FD_2^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9, следовательно, DD_2 = 3.

Найдем угол \angle FCD_2 . Рассмотрим треугольник FCD_2 (рис. 18). Заметим, что FD_2 – вертикальное ребро, перпендикулярное плоскости основания, поэтому FD_2 \perp FC (так как FC лежит в основании). Значит, треугольник FCD_2 прямоугольный с прямым углом при вершине F .

53 Рис. 18: Иллюстрация к решению

Найдём катеты:

FD_2 = 2 .

FC – диагональ квадрата со стороной 1, значит FC = \sqrt{2} .

Искомый угол находится при вершине C . Его тангенс: \tan \angle FCD_2 = \frac{FD_2}{FC} = \sqrt{2}. Следовательно, \angle FCD_2 = \arctan(\sqrt{2}).

54 Рис. 19: Иллюстрация к задаче

Дополнительная задача: найдите квадрат расстояния DC_2 и угол \angle D_2EF .

Решение. Чтобы найти DC_2 , достроим прямоугольный параллелепипед с рёбрами 1 , 1 и 2 (см. рис. 20). Отрезок DC_2 является диагональю этого параллелепипеда. По формуле диагонали: DC_2^2 = 1^2 + 1^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6.

55 Рис. 20: Иллюстрация к решению

Найти угол \angle D_2EF .

Решение. Точки D_2 , E , F лежат в одной задней грани (рис. 21).

56 Рис. 21: Иллюстрация к решению

На этой грани EF = 2 , FD_2 = 2 , и D_2E – диагональ прямоугольника 2 \times 2 , значит треугольник D_2EF прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, угол \angle D_2EF = 45^\circ .