Призмы. Часть 2.: Часть 1

Видео

Конспект

Расстояния в правильной шестиугольной призме

Задача. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 . Все рёбра призмы равны 1 .

Требуется найти:

расстояние между точками A и E_1 ;

расстояние между точками A_1 и D .

68 Рис. 14: Иллюстрация к решению

Решение. Точки A и E_1 лежат в одной плоскости – прямоугольнике AA_1E_1E (это следует из того, что призма правильная, значит прямая, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям).

Найдём AE . В правильном шестиугольнике со стороной 1 диагональ, соединяющая вершины через одну (как AE ), равна \sqrt{3} . Таким образом, AE = \sqrt{3} .

69 Рис. 15: Иллюстрация к решению

Вернемся к треугольнику AEE_1 . По теореме Пифагора находим AE_1 = 2 .

Теперь найдем A_1D . Рассмотрим ломаную A_1 \to A \to E \to D . Её звенья попарно перпендикулярны. Длины звеньев: A_1A = 1,\quad AE = \sqrt{3},\quad ED = 1. По пространственной теореме Пифагора: A_1D^2 = A_1A^2 + AE^2 + ED^2 = 1+3+1=5. A_1D можно найти другим способом – через прямоугольник AA_1D_1D . В этом прямоугольнике:

AA_1 = 1 (высота призмы);

AD – большая диагональ правильного шестиугольника, соединяющая противоположные вершины. В правильном шестиугольнике такая диагональ равна 2 .

Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AA_1D : A_1D^2 = AA_1^2 + AD^2 = 1^2 + 2^2 = 5.