Призмы. Часть 2.: Часть 3

Видео

Конспект

Задача на сечение в правильной четырёхугольной призме

Задача. Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA_1B_1C_1D_1 . Сторона основания ABCD равна 1 , боковое ребро AA_1 = 2 . Точки L и M – середины рёбер B_1C_1 и C_1D_1 соответственно. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B , L , M , и найдите его площадь.

74 Рис. 20: Иллюстрация к задаче

Решение. Построим сечение (см. рис. 21):

Соединяем точки L и M (они лежат в верхнем основании A_1B_1C_1D_1 ). Отрезок LM будет стороной сечения.

Соединяем точки L и B (лежат в грани BCC_1B_1 ). Отрезок LB – вторая сторона.

Через точку B проводим прямую, параллельную LM . Так как LM – средняя линия в треугольнике B_1C_1D_1 , то LM \parallel B_1D_1 . В квадрате A_1B_1C_1D_1 диагональ B_1D_1 \parallel BD (диагональ нижнего основания). Поэтому прямая через B , параллельная LM , – это прямая BD (она же диагональ основания ABCD ). Таким образом, получаем точку D – вершину сечения.

Соединяем D и M (лежат в грани DCC_1D_1 ).

Полученный четырёхугольник DBLM – искомое сечение.

75 Рис. 21: Иллюстрация к решению

Рассмотрим полученное сечение:

LM \parallel BD (по построению), значит DBLM – трапеция.

Докажем, что она равнобедренная. Рассмотрим прямоугольные треугольники BB_1L и DD_1M . У них:

Следовательно, \triangle BB_1L = \triangle DD_1M (по двум катетам). Отсюда BL = DM . Значит, DBLM – равнобедренная трапеция.

BB_1 = DD_1 = 2 (высота призмы);

B_1L = D_1M = \frac{1}{2} (так как L и M – середины сторон, а сторона верхнего основания равна 1 ).

Осталось найти площадь этой трапеции. Вычислим стороны трапеции:

BD – диагональ квадрата со стороной 1 : BD = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.

ML – средняя линия в треугольнике B_1C_1D_1 , поэтому ML = \frac{1}{2} B_1D_1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

BL находим по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BB_1L : BL = \sqrt{BB_1^2 + B_1L^2} = \sqrt{2^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}.

DM = BL = \frac{\sqrt{17}}{2} (в силу равенства трапеции).

Найдем площадь трапеции.

76 Рис. 22: Иллюстрация к решению

Опустим высоты MH и LN на основание BD . Тогда HN = ML = \frac{\sqrt{2}}{2} , а BH = ND = \frac{BD - ML}{2} = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}. В прямоугольном треугольнике BHL : BL^2 = BH^2 + h^2 \quad\Rightarrow\quad h^2 = BL^2 - BH^2 = \frac{17}{4} - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{17}{4} - \frac{2}{16} = \frac{34}{8} - \frac{1}{8} = \frac{33}{8}. Следовательно, h = \sqrt{\frac{33}{8}} = \frac{\sqrt{33}}{2\sqrt{2}} . Площадь трапеции: S = \frac{1}{2} \left( \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \frac{\sqrt{33}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{33}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{33}}{8}.

Замечание. Площадь трапеции можно найти другим способом (рис. 23).

Продлим боковые стороны BL и DM до пересечения в точке Q . Так как трапеция равнобедренная, треугольник QBD равнобедренный. ML – средняя линия этого треугольника ( ML \parallel BD и ML = \frac12 BD ). Тогда площадь трапеции равна \frac34 площади треугольника QBD .

77 Рис. 23: Иллюстрация к решению

Высота треугольника QBD вдвое больше высоты трапеции, то есть H = 2h = 2 \cdot \frac{\sqrt{33}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{2}}. Площадь треугольника: S_{\triangle QBD} = \frac12 \cdot BD \cdot H = \frac12 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{33}}{2}. Тогда площадь трапеции: S = \frac34 \cdot S_{\triangle QBD} = \frac34 \cdot \frac{\sqrt{33}}{2} = \frac{3\sqrt{33}}{8}.