Многогранники. Часть 1.: Часть 1

Видео

Конспект

Многогранники

Задачи на многогранники с прямыми углами

Рассмотрим многогранники, все грани которых — прямоугольники (или квадраты), а все рёбра попарно либо параллельны, либо перпендикулярны. Такие фигуры можно представить как объединение нескольких прямоугольных параллелепипедов (или кубов). Задачи на нахождение площади поверхности и объёма таких тел часто встречаются в первой части ЕГЭ и решаются простым суммированием площадей граней.

Задача. Дан многогранник ABCDA_1B_1KLMNPQ (рис. 1, грани пронумерованы синим). Известны следующие рёбра: A_1B_1 = 3,\ \ B_1L = 2,\ \ AD = 5,\ \ B_1L = 2, \ \ LM = 1. Найти площадь полной поверхности этого многогранника.

36 Рис. 1: Иллюстрация к объяснению

Решение. Вычислим площади простых граней:

S_1 = AB \cdot AD = 3 \cdot 5 = 15 .

S_3 = AA_1 \cdot A_1B_1 = 2 \cdot 3 = 6 .

S_5 = A_1B_1 \cdot B_1L = 3 \cdot 2 = 6 .

S_6 = KL \cdot LM = 3 \cdot 1 = 3 .

Найдем размеры оставшихся граней:

Грань NMPQ : NM = 3 (дано), а NQ находим как разность AD - A_1K . A_1K = B_1L = 2 , значит NQ = 5 - 2 = 3 . Следовательно, это квадрат со стороной 3: S_7 = 3 \cdot 3 = 9 .

Грань CPQD : PQ = NM = 3 , а QD = AA_1 - LM = 2 - 1 = 1 (или из равенства отрезков при достраивании). Тогда S_8 = 3 \cdot 1 = 3 .

Грани 2 и 4 (ступеньки) равны. Найдём площадь грани 2. Её можно разбить на два прямоугольника: TA_1KN и ATQD (где T – продолжение NQ до пересечения с AA_1 , см. рис. 2). TA_1 = LM = 1 , A_1K = 2 , соответственно, площадь первого прямоугольника равна 1 \cdot 2 = 2 . Стороны второго прямоугольника: AD = 5 , DQ = 1 . Отсюда получаем площадь 5 .

Значит, S_2 = 5+2 = 7 .

Заметим также, что вторая грань идентична четвертой. Отсюда получаем S_2=S_4=7 .

37 Рис. 2: Иллюстрация к решению

Найдем площадь полной поверхности: S_{бок.пов-ти} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6 + S_7 + S_8 = 56.