Многогранники. Часть 1.: Часть 3

Видео

Конспект

Задачи на объём многогранников с вырезами и ступеньками

Вернемся к рассмотренным ранее задачам (разделы 4.1 и 4.2) и вычислим объемы рассмотренных многогранников.

Для вычисления объёма многогранников, все грани которых – прямоугольники (или составлены из них), применяются два основных метода:

Достраивание до полного параллелепипеда – затем вычитается объём удалённой части.

Разрезание на несколько прямоугольных параллелепипедов и сложение их объёмов.

Выбор метода зависит от формы фигуры – в одних случаях удобнее достраивать, в других – резать.

Задача. Найти объем многоугольника, представленного на рис. 3.

Решение. Достраиваем фигуру до полного параллелепипеда 4 \times 4 \times 3 (рис. 6).

41 Рис. 6: Иллюстрация к решению

Его объём: V_0 = 4 \cdot 4 \cdot 3 = 48. Объём вырезанной части (параллелепипед 1 \times 1 \times 2 ): V_1 = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2. Искомый объём: V = V_0 - V_1 = 48 - 2 = 46.

Задача. Найти объем многоугольника, представленного на рис. 1.

Решение. Разрежем многоугольник на два (рис. 7).

42 Рис. 7: Иллюстрация к решению

У нас получилось два прямоугольных параллелепипеда:

Нижний: размеры 5 \times 3 \times 1 (длина, ширина, высота). Отсюда получаем объём V_2 = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15 .

Верхний: размеры 3 \times 2 \times 1 . Его объём V_3 = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 .

Общий объём: V = V_2 + V_3 = 15 + 6 = 21.

Задача на вычисление расстояний в многограннике со ступеньками

Задача. Дан многогранник, представляющий собой «ступеньку» (объединение двух прямоугольных параллелепипедов). Размеры указаны на чертеже (рис. 8).

43 Рис. 8: Иллюстрация к задаче

Найти квадраты расстояний AB,AC,BC .

Решение. Точки A и C являются противоположными вершинами нижнего прямоугольного параллелепипеда (если мысленно отрезать верхнюю ступеньку – см. рис. 9). Его размеры: 3 \times 2 \times 2 (ширина, высота, глубина).

44 Рис. 9: Иллюстрация к решению

По формуле диагонали прямоугольного параллелепипеда (она же пространственная теорема Пифагора): AC^2 = 3^2 + 2^2 + 2^2 = 9 + 4 + 4 = 17. Таким образом, квадрат расстояния AC равен 17 .

Точки A и B не являются вершинами одного параллелепипеда, но их можно соединить ломаной из трёх попарно перпендикулярных звеньев: A \to K \to L \to B (рис. 10), где:

AK – вертикальное ребро (длина 4),

KL – горизонтальное ребро на верхней ступеньке (длина 2),

LB – ребро, параллельное глубине (длина 2).

45 Рис. 10: Иллюстрация к решению

46 Рис. 11: Иллюстрация к решению

Все три отрезка попарно перпендикулярны, поэтому по пространственной теореме Пифагора: AB^2 = AK^2 + KL^2 + LB^2 = 4^2 + 2^2 + 2^2 = 24.

Точки B и C лежат в одной задней грани. Нарисуем её отдельно: это прямоугольник, из которого вырезан уголок (рис. 11).

По теореме Пифагора: BC^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5.