Многогранники. Часть 1.: Часть 2

Видео

Конспект

Задача на площадь поверхности многогранника с вырезом

Задача. Дан многогранник, полученный из прямоугольного параллелепипеда размерами 4 \times 4 \times 3 (основание 4 \times 3 , высота 4 ) путём удаления прямоугольного параллелепипеда размерами 2 \times 1 \times 1 (рис. 3). Все грани – прямоугольники или квадраты, все двугранные углы прямые.

Найти площадь полной поверхности полученной фигуры.

38 Рис. 3: Иллюстрация к задаче

Решение. Разобьём поверхность на отдельные грани и вычислим их площади. Всего у фигуры 9 граней.

Большие грани, не затронутые вырезом:

Нижнее основание: прямоугольник 4 \times 3 , площадь S_1 = 4 \cdot 3 = 12 .

Левая боковая грань: прямоугольник 3 \times 4 , площадь S_2 = 3 \cdot 4 = 12 .

Задняя грань: квадрат 4 \times 4 , площадь S_3 = 4 \cdot 4 = 16 .

Грани, образованные вырезом (внутренние стенки):

Два прямоугольника размерами 1 \times 2 (по бокам выреза), каждый площадью 2 . Суммарно S_4 = 2 + 2 = 4 .

Один квадрат 1 \times 1 (задняя стенка выреза), площадь S_5 = 1 .

Грани, частично изменённые вырезом:

Передняя грань: изначально квадрат 4 \times 4 (площадь 16 ), из которого вырезан прямоугольник 2 \times 1 (площадь 2 ). Площадь S_6 = 16 - 2 = 14 .

Верхняя грань: сложная фигура (рис. 4). Её можно разбить на квадрат 2 \times 2 (площадь 4 ) и прямоугольник 3 \times 2 (площадь 6 ). Площадь S_7 = 4 + 6 = 10 .

Правая боковая грань: изначально прямоугольник 4 \times 3 (площадь 12 ), из которого вырезан квадрат 1 \times 1 (площадь 1 ). Площадь S_8 = 12 - 1 = 11 .

39 Рис. 4: Иллюстрация к решению

Итоговая площадь поверхности: S_{полн} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6 + S_7 + S_8 Подставляем: S_{полн} = 12 + 12 + 16 + 4 + 1 + 14 + 10 + 11 = 80.

Задача на площадь поверхности и объём многогранника со сквозным вырезом

Задача. Дан многогранник, полученный из прямоугольного параллелепипеда размерами 5 \times 4 \times 2 (основание 5 \times 4 , высота 2 ) путём удаления сквозного прямоугольного параллелепипеда размерами 1 \times 1 \times 2 (вырез проходит насквозь через всю высоту). Все грани — прямоугольники, все двугранные углы прямые.

Найти площадь полной поверхности и объём полученной фигуры.

40 Рис. 5: Иллюстрация к задаче

Решение. Вместо суммирования всех граней по отдельности, используем следующий приём:

Считаем площадь поверхности исходного большого параллелепипеда (без выреза).

Вычитаем площади тех участков внешних граней, которые исчезли при вырезании.

Прибавляем площади новых внутренних граней, образовавшихся внутри выреза.

Площадь поверхности большого параллелепипеда 5 \times 4 \times 2 : S_1 = 2(5\cdot4 + 5\cdot2 + 4\cdot2) = 2(20 + 10 + 8) = 76. Вырезанный параллелепипед 1 \times 1 \times 2 проходит насквозь, поэтому он «убирает» с двух противоположных внешних граней (передней и задней) по квадрату 1 \times 1 . Исчезнувшая площадь: S_{исчез} = 2 \cdot (1\cdot1) = 2. Внутри выреза появляются четыре новые прямоугольные грани размером 1 \times 2 (боковые стенки выреза). Добавленная площадь: S_{доб} = 4 \cdot (1\cdot2) = 8. В итоге получаем S_{полн} = S_1 - S_{исчез} + S_{доб} = 76 - 2 + 8 = 82. Объём фигуры равен объёму большого параллелепипеда V_1 минус объём вырезанного параллелепипеда V_0 : V_1 = 5 \cdot 4 \cdot 2 = 40, \qquad V_0 = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2. Следовательно, V = 40 - 2 = 38.