Пирамиды. Часть 3.: Часть 1

Видео

Конспект

Задачи на отношение объёмов

Задача. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD . Её объём равен 10 . На ребре SC выбрана точка P такая, что SP : PC = 1 : 4 . Найдите объём пирамиды PBCD .

102

Рис. 1: Иллюстрация к задаче

Решение.

Рассмотрим пирамиду SBCD . Её основание BCD – это половина квадрата ABCD . Значит, площадь основания SBCD вдвое меньше площади основания SABCD . Высота у них общая (из вершины S на плоскость основания). Следовательно, V_{SBCD} = \frac{1}{3}h\cdot S_{BCD} = \frac{1}{3}h \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{2}V_{SABCD} = 5.

Теперь рассмотрим пирамиды SBCD и PBCD . У них общее основание BCD . Высоты относятся как SP : SC (так как точки S и P лежат на одном ребре SC , а высоты – перпендикуляры к одной плоскости). Из SP : PC = 1 : 4 следует, что SP : SC = 1 : 5 , значит P делит SC в отношении 1:5 от S . Тогда высота пирамиды PBCD составляет \frac{4}{5} от высоты SBCD (так как PC = 4 части из 5 ). Следовательно, V_{PDBC} = \frac{1}{3}PQ\cdot S_{BCD} = \frac{1}{3}\cdot \frac{4}{5}SO\cdot S_{BCD} = \frac{4}{5}V_{SBCD} = 4.

Решение (второй способ).

Сначала так же находим V_{SBCD} = 5 .

Теперь рассмотрим пирамиды BSDC и BPDC (переворачиваем так, чтобы вершиной стала точка B ). У них общая высота (из точки B на плоскость SDC ). Основания SDC и PDC лежат в одной плоскости. Точки S и P лежат на прямой SC , причём PC = \frac{4}{5} SC . Площади треугольников с общей высотой из вершины D (или из C ) относятся как основания SC и PC . Значит, S_{PDC} = \frac{4}{5} S_{SDC}. Следовательно, V_{BPDC} = \frac{4}{5} V_{BSDC}. Но V_{BSDC} = V_{SBCD} = 5 , поэтому V_{PBCD} = \frac{4}{5} \cdot 5 = 4 .