Пирамиды. Часть 3.: Часть 4

Видео

Конспект

Задача. Дан правильный тетраэдр $ABCD$ с ребром $1$. Через середины четырёх его рёбер проведено сечение. Найдите площадь этого сечения.

Решение. Выберем середины рёбер $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ и обозначим их соответственно $N$, $K$, $L$, $M$. Соединим их последовательно. Это и есть искомое сечение (рис. 9).

110

Рис. 9: Иллюстрация к решению

Все эти отрезки являются средними линиями соответствующих треугольников. Поэтому, как и в предыдущей задаче, искомое сечение является параллелограммом. Более того, в правильном тетраэдре противоположные рёбра попарно перпендикулярны: $AC \perp BD$. Значит, параллелограмм $KLMN$ является прямоугольником.

Из построения сечения получаем: $$

KL = MN = \frac{BD}{2} = \frac{1}{2},

$$ $$

KN = ML = \frac{AC}{2} = \frac{1}{2}.

$$ Отсюда получаем $$

S_{KLMN} = \frac{1}{4}.

$$

Задача. Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, все рёбра которой равны $1$. Через середины боковых рёбер $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ проведено сечение. Найдите площадь этого сечения.

Решение. Обозначим середины боковых рёбер (рис. 10):

$K$ – середина $SA$,

$L$ – середина $SB$,

$M$ – середина $SC$,

$N$ – середина $SD$.

Соединим их: $KLMN$ – искомое сечение.

111

Рис. 10: Иллюстрация к решению

Отметим, что $KL, LM, MN, NK$ – средние линии соответствующих треугольников. Поэтому $KL \parallel AB$ и $KL = \frac{1}{2}AB$, $LM \parallel BC$ и $LM = \frac{1}{2}BC$, $MN \parallel CD$, $MN = \frac{1}{2}CD$; $NK \parallel DA$, $NK = \frac{1}{2}DA$. При этом стороны сечения перпендикулярны друг другу, так как $ABCD$ – квадрат. Значит, $KLMN$ – прямоугольник. Все стороны квадрата $ABCD$ равны $1$, поэтому: $$

KL = LM = MN = NK = \frac{1}{2}.

$$ Таким образом, $KLMN$ – квадрат. Его площадь: $S = \frac{1}{4}$.

Связь объёмов параллелепипеда и пирамиды

Задача. Объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $\frac{3}{2}$. Найдите объём пирамиды $B_1ABC$.

112

Рис. 11: Иллюстрация к задаче

Решение. Выделим указанную в условии пирамиду (рис. 12).

113

Рис. 12: Иллюстрация к решению

Объем данного параллелепипеда считается следующим образом: $$

V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = 1.5 = h\cdot S_{ABCD}.

$$ Высота $h$ – это расстояние между основаниями $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Опустим эту высоту из точки $B_1$ на основание $ABCD$. Эта высота будет одновременно и высотой данного параллелепипеда, и высотой пирамиды $ABCB_1$.

Объем пирамиды вычисляется следующим образом: $$

V_{B_1ABC} = \frac{1}{3}h\cdot S_{ABC}.

$$ Заметим, что площадь $ABC$ в два раза меньше площади $ABCD$. Отсюда получаем $$

V_{B_1ABC} = \frac{1}{3}h\cdot S_{ABC} = \frac{1}{3}h \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{6}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = \frac{1}{6}\cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{4}.

$$

Задача. Объём пирамиды $ABDA_1$ (вершина $A_1$, основание $ABD$) равен $3$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

114

Рис. 13: Иллюстрация к задаче

Решение. Объем данной пирамиды вычисляется следующим образом: $$

V_{ABDA_1} = \frac{1}{3}h_{A_1} \cdot S_{ABD} = 3.

$$ Объем параллелепипеда: $$

V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = h_{A_1} \cdot S_{ABCD} = 2h_{A_1} \cdot S_{ABD} = 6V_{ABDA_1}.

$$ Таким образом, $V_{A_1B_1C_1D_1ABCD} = 18$.