Параллелепипеды. Часть 1.: Часть 1
Математика, 10 класс
Параллелепипеды Геометрия параллелепипеда: основные элементы и их свойства Параллелепипедом называется шестигранник, все грани которого являются параллелограммами (рис. 1). 24 Рис. 1: Параллелепипед О...
Видео
Конспект
Параллелепипеды
Геометрия параллелепипеда: основные элементы и их свойства
Параллелепипедом называется шестигранник, все грани которого являются параллелограммами (рис. 1).
24 Рис. 1: Параллелепипед
О группах рёбер параллелепипеда
Рёбра параллелепипеда разбиваются на три группы по четыре параллельных и равных между собой ребра.
Можно показать, что ребра AB,CD,A_1B_1,D_1C_1 параллельны и равны друг другу: AB=CD=A_1B_1=D_1C_1. То же верно и для ребер AA_1,BB_1,CC_1,DD_1 .
Для однозначного задания параллелепипеда необходимо задать
длины трёх рёбер из разных групп,
углы между этими рёбрами (в общем случае не равные 90^\circ ).
Параллельность граней
Можно также показать, что противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Докажем, например, параллельность плоскостей (AA_1B_1) \parallel (D_1C_1C). Из предыдущего утверждения о равенстве ребер получаем \left\{
\begin{array}{lll}
AA_1 \parallel CC_1,\\
A_1B_1 \parallel D_1C_1.
\end{array}\right. По признаку параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, AA_1B_1B \parallel DD_1C_1C .
Аналогично доказывается параллельность других пар противоположных граней.
Можно также показать, что противоположные грани параллелепипеда не только параллельны, но и равны как параллелограммы.
Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками (рис. 2).
25 Рис. 2: Прямоугольный параллелепипед
Докажем некоторые свойства прямоугольного параллелепипеда.
Утверждение. В прямоугольном параллелепипеде каждое ребро перпендикулярно рёбрам, которые оно пересекает, и рёбрам, с которыми оно скрещивается (но не параллельно).
Доказательство. Рассмотрим ребро AD прямоугольного параллелепипеда.
Грань ABCD — прямоугольник \Rightarrow AD \perp AB .
Грань AA_1D_1D — прямоугольник \Rightarrow AD \perp AA_1 .
Грань ADD_1A_1 — прямоугольник \Rightarrow AD \perp DD_1 .
Рассмотрим ребро BB_1 , скрещивающееся с AD . BB_1 \parallel AA_1 , AA_1 \perp AD . Следовательно, BB_1 \perp AD .
Аналогично доказывается для всех других рёбер.
Утверждение. В прямоугольном параллелепипеде каждое ребро перпендикулярно граням, которые оно пересекает.
Доказательство. Рассмотрим ребро AA_1 и грань ABCD :
AA_1 \perp AB (так как грань AA_1B_1B — прямоугольник),
AA_1 \perp AD (так как грань AA_1D_1D — прямоугольник),
AB и AD — пересекающиеся прямые в плоскости ABCD .
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.
Следовательно, AA_1 \perp ABCD .
Объём прямоугольного параллелепипеда
Если рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, имеют длины a , b , c , то его объём вычисляется по формуле: V = a\cdot b\cdot c.