Параллелепипеды. Часть 1.: Часть 2

Видео

Конспект

Задача на нахождение диагонали

Определение. Диагональ прямоугольного параллелепипеда — это отрезок, соединяющий противоположные вершины и не лежащий ни в одной грани (проходит сквозь фигуру).

26 Рис. 3: Иллюстрация к задаче

Задача. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины рёбер: DD_1=1 , CD=2 , AD=2 . Найдите длину диагонали CA_1 .

Решение. Найдём диагональ грани A_1C_1 . Рассмотрим верхнюю грань A_1B_1C_1D_1 . Она является квадратом со стороной 2, так как

DCC_1D_1 – прямоугольник \Rightarrow D_1C_1=DC=2 ;

ADD_1A_1 – прямоугольник \Rightarrow AD=A_1D_1=2 ;

Углы прямоугольника прямые \Rightarrow углы в A_1D_1C_1B_1 тоже прямые.

По теореме Пифагора для треугольника A_1B_1C_1 : A_1C_1=2\sqrt{2} .

27 Рис. 4: \triangle A_1C_1C

Рассмотрим \triangle A_1C_1C (рис. 4). В этом треугольнике:

По теореме Пифагора A_1C^2 = A_1C_1^2+C_1C^2 = 8+1=9

Распишем левую часть полученного выражения: A_1C^2 = A_1C_1^2+C_1C^2 = A_1B_1^2+C_1B_1^2+C_1C^2. Все три A_1B_1 , C_1B_1 , C_1C – попарно перпендикулярные ребра. Значит, они все разные.

Напомним, что если ребра прямоугольного параллелепипеда равны a,b,c , то диагональ – это d^2 = a^2+b^2+c^2. Это выражение также называют пространственной теоремой Пифагора: если три отрезка попарно перпендикулярны, то квадрат длины отрезка, соединяющего их концы, равен сумме квадратов длин этих отрезков.

Ответ: длина диагонали CA_1 равна 3 .

Замечание:

Формула d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} справедлива только для прямоугольного параллелепипеда.

Все четыре главные диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

В непрямоугольном параллелепипеде диагонали, вообще говоря, различны, и единой формулы для них нет.