Пирамиды. Часть 1.: Часть 1

Видео

Конспект

Пирамиды

Основные понятия и формулы

Пирамидой называется многогранник, состоящий из плоского многоугольника (основания) и точки (вершины), не лежащей в плоскости основания, соединённой отрезками (рёбрами) со всеми вершинами основания.

Боковые грани пирамиды – треугольники, сходящиеся в вершине. Основание – произвольный многоугольник.

83 Рис. 1: Пример пирамиды

Важные элементы пирамиды:

Высота пирамиды ( h ) – перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.

Апофема ( l ) – высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания. В произвольной пирамиде апофемы разных боковых граней могут быть различны.

Свойство: любая апофема не меньше высоты пирамиды.

Основные формулы:

Объём пирамиды (для любой пирамиды): V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h, где S_{осн} — площадь основания, h — высота пирамиды.

Площадь боковой поверхности (общий случай): S_{бок} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} h_a^i \cdot l_i, где h_a^i – апофема, l_i – длина бокового ребра.

Особенность треугольной пирамиды:

Любую грань треугольной пирамиды можно считать основанием. Тогда объём можно выразить через высоту, опущенную из соответствующей вершины, и площадь этой грани. Это даёт метод объёмов: \frac{1}{3} S_1 h_1 = \frac{1}{3} S_2 h_2 = \dots Это свойство часто используется для нахождения расстояний от точки до плоскости (высот) в задачах.