Пирамиды. Часть 1.: Часть 4

Видео

Конспект

Задачи на правильную треугольную пирамиду

Задача. В правильной треугольной пирамиде SABC медиана основания AM = \sqrt{3} . Боковое ребро SA наклонено к плоскости основания под углом \arctan \frac{3}{2} . Найдите объём пирамиды.

Решение.

87 Рис. 5: Иллюстрация к решению

Проведём высоту SH пирамиды ( H – центр основания, см. рис. 5). В правильном треугольнике ABC точка H делит медиану AM в отношении 2:1 от вершины A , поэтому AH = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3}\sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}.

Угол между SA и плоскостью основания – это угол между SA и его проекцией AH . В прямоугольном треугольнике SAH : \tan \angle SAH = \frac{SH}{AH}. По условию \angle SAH = \arctan \frac{3}{2} , значит \tan \angle SAH = \frac{3}{2} . Отсюда SH = AH \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} = \sqrt{3}.

Найдём сторону основания AB . В правильном треугольнике ABC медиана AM является также высотой, поэтому AM = AB \cdot \sin 60^\circ \quad\Rightarrow\quad AB = \frac{AM}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 2. Тогда BC = AB = 2 .

Площадь основания: S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2 = \sqrt{3}.

Объём пирамиды: V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 1.

Задача. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O . Площадь треугольника ABC равна 4 , объём пирамиды равен 6 . Найдите длину отрезка SO .

88 Рис. 6: Иллюстрация к решению

Решение. Так как пирамида правильная, высота SO опускается в центр основания O (точку пересечения медиан).

Объём пирамиды: V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SO. Подставляем известные значения: 6 = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot SO Отсюда получаем SO = \frac{3 \cdot 6}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}.