Пирамиды. Часть 1.: Часть 2

Видео

Конспект

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если:

в основании лежит правильный многоугольник;

высота пирамиды проходит через центр этого правильного многоугольника (центр описанной и вписанной окружностей).

Критерии правильности для треугольной пирамиды:

Если все ребра треугольной пирамиды наклонены под одним углом, то вершины проецируются в центр описанной окружности.

Доказательство. Рассмотрим треугольную пирамиду (рис. 2).

84 Рис. 2: Пример треугольной пирамиды

Пусть S – вершина, H – проекция на плоскость основания ABC . Если \angle SAH = \angle SBH = \angle SCH , то прямоугольные треугольники SAH, SBH, SCH имеют общий катет SH и равные острые углы, значит они равны, откуда AH = BH = CH . Следовательно, H – центр описанной окружности треугольника ABC .

Если вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности треугольника ABC , то углы, которые составляют боковые ребра с основанием, равны друг другу.

Доказательство. Дано: AH=BH=CH , SH – высота. Треугольники SAH и SBH равны по двум катетам. Отсюда получаем равенство углов \angle SAH = \angle SBH .

Если боковые ребра треугольной пирамиды равны, то ее вершина попадает в центр вписанной окружности основания.

Доказательство. Если SA = SB = SC , то прямоугольные треугольники SAH, SBH, SCH равны по катету SH и гипотенузе, значит AH = BH = CH , и H – центр описанной окружности. Обратное – аналогично.

Если двугранные углы при основании равны, то вершина проектируется в центр описанной окружности основания. Это более сложная теорема (доказательство опускается).