Пирамиды. Часть 1.: Часть 3

Видео

Конспект

Задача на правильную треугольную пирамиду

Задача. Дана правильная треугольная пирамида SABC .

Объём пирамиды V = {16}/{\sqrt{3}} . Боковое ребро SA наклонено к плоскости основания ABC под углом 60^\circ . Найти сторону основания AB .

85 Рис. 3: Иллюстрация к задаче

Решение. Пусть H – основание высоты пирамиды (проекция вершины S на плоскость основания). Угол между ребром SA и плоскостью основания – это угол между SA и его проекцией AH на основание.

Обозначим сторону основания через x : AB = BC = CA = x.

86 Рис. 4: Иллюстрация к решению

Проведём медиану AM в треугольнике ABC ( M – середина BC ). В правильном треугольнике со стороной x : \frac{AM}{AH} = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, AM = \frac{\sqrt{3}}{2}x. Точка H делит медиану AM в отношении 2:1 , считая от вершины A : AH = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}x = \frac{x}{\sqrt{3}}. В прямоугольном треугольнике SAH (где SH \perp (ABC) ) известно: \angle SAH = 60^\circ. Тогда \tan 60^\circ = \frac{SH}{AH} \quad\Rightarrow\quad SH = AH \cdot \tan 60^\circ = \frac{x}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = x. Таким образом, высота пирамиды SH = x .

Площадь правильного треугольника со стороной x : S_{ABC} = \frac{1}{2}AM\cdot BC = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2. Объём пирамиды вычисляется по формуле: V = \frac{1}{3} x \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = \frac{1}{4 \sqrt{3}}x^3. Из условия задачи: V =\frac{1}{4 \sqrt{3}}x^3 = \frac{16}{\sqrt{3}}. Отсюда получаем x^3 = 64 \quad \Rightarrow x = 4.