Введение в стереометрию.: Часть 1

Видео

Конспект

Введение в стереометрию

Основные понятия о плоскостях

Данный модуль посвящен основам стереометрии и охватывает базовые задачи, аналогичные заданиям первой части ЕГЭ. Основной акцент сделан на практическое решение задач с использованием знаний планиметрии. Теоретические сведения приводятся в объеме, необходимом для применения на практике.

Связь стереометрии и планиметрии

Важно понимать, что стереометрия не существует отдельно от планиметрии. Решение пространственной задачи часто сводится к последовательному рассмотрению нескольких планиметрических задач в различных плоскостях, которые мы проводим внутри объемной фигуры. Все ваши знания о свойствах плоских фигур остаются актуальными.

Ключевое отличие – понятие плоскости. Основное нововведение стереометрии – работа с множеством плоскостей. В планиметрии все объекты лежат в одной плоскости. В стереометрии мы оперируем несколькими плоскостями, которые могут по-разному располагаться в пространстве.

Взаимное расположение плоскостей и прямых

Признак параллельности двух плоскостей. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки.

Свойство транзитивности: если плоскость \alpha \parallel \beta и \beta \parallel \gamma , то \alpha \parallel \gamma (при условии, что плоскости \alpha и \gamma не совпадают). Совпадающие плоскости (\alpha = \gamma) обычно рассматриваются как отдельный случай.

1 Рис. 1: Иллюстрация к свойству транзитивности

Параллельность прямой и плоскости. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с этой плоскостью ни одной общей точки.

2 Рис. 2: Параллельность прямой и плоскости

Критерий параллельности прямой и плоскости: если прямая, лежащая в плоскости (k \subset \alpha) , параллельна какой-либо прямой (m \parallel k) , не лежащей в этой плоскости, то и эта прямая m параллельна плоскости (m \parallel \alpha) : k \parallel m\ \ \Rightarrow\ \

\left[

\begin{array}{lll}

m \parallel \alpha,\\

m \in \alpha.

\end{array}\right.

3 Рис. 3: Признак параллельности прямой и плоскости

Признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые (l_1,m_1) одной плоскости (\alpha) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым (l_2,m_2) другой плоскости (\beta) , то плоскости \alpha и \beta параллельны (\alpha \parallel \beta) либо совпадают: если \ l_1 \parallel l_2,\ m_1 \parallel m_2,\ то\

\left[

\begin{array}{lll}

\alpha \parallel \beta,\\

\alpha \ совпадает с\ \beta.

\end{array}\right.

4 Рис. 4: Признак параллельности двух плоскостей

Пересекающиеся плоскости. Если две плоскости не параллельны, они пересекаются.

Линия пересечения: пересечением двух непараллельных плоскостей всегда является прямая линия.

5 Рис. 5: Линия пересечения плоскостей

Замечание. Если в каждой из двух пересекающихся плоскостей есть прямая, параллельная прямой в другой плоскости, то эти прямые будут параллельны линии пересечения самих плоскостей.