Введение в стереометрию.: Часть 2

Видео

Конспект

Прямые в пространстве. Взаимное расположение, перпендикулярность и проекции

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

В стереометрии две прямые могут находиться в одном из четырех состояний:

Совпадающие: прямые полностью идентичны.

Пересекающиеся: прямые имеют ровно одну общую точку. Все их свойства наследуются из планиметрии.

Параллельные: прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Все свойства параллельных прямых (накрест лежащие, соответственные углы и т.д.) сохраняются.

Скрещивающиеся: прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Ключевой признак. Если через две прямые можно провести плоскость, то они либо пересекающиеся, либо параллельные. Если такую плоскость провести нельзя – прямые являются скрещивающимися.

Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между двумя скрещивающимися прямыми определяется через понятие параллельного переноса.

Алгоритм нахождения:

Через произвольную точку пространства провести прямую, параллельную одной из скрещивающихся прямых.

Провести прямую, параллельную второй из скрещивающихся прямых, через ту же точку.

Угол между полученными пересекающимися прямыми и будет искомым углом между исходными скрещивающимися прямыми.

Если этот угол равен 90^\circ , скрещивающиеся прямые называются перпендикулярными.

6

Рис. 6: Угол между скрещивающимися прямыми

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения (рис. 7).

7

Рис. 7: Перпендикулярность прямой и плоскости

Основные теоремы и свойства:

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.

Эта теорема — основной инструмент для доказательств.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то эти плоскости параллельны (рис. 8).

8 Рис. 8: Иллюстрация к теореме

Проекции

Проекция точки. Ортогональной проекцией точки M на плоскость \alpha называется точка M_1 – основание перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость \alpha (рис. 9).

9 Рис. 9: Проекция точки

Проекция прямой. Проекцией прямой (если она не перпендикулярна плоскости) является прямая. Чтобы построить ее, достаточно спроецировать любые две точки исходной прямой и провести через их проекции прямую (рис. 10).

10 Рис. 10: Проекция прямой

Проекция фигуры. Проекцией фигуры (отрезка, прямой, треугольника и т.д.) на плоскость называется множество проекций всех точек этой фигуры (рис. 11).

11 Рис. 11: Проекция фигуры