Многогранники. Куб и его свойства.: Часть 1

Видео

Конспект

Многогранники. Куб и его свойства

Основы стереометрии. Куб как ключевой многогранник

Многогранником называется ограниченное геометрическое тело в трёхмерном пространстве, граница которого состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями.

16 Рис. 1: Куб

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны.

Куб также можно определить через свойства его граней: кубом называется многогранник, у которого:

все грани являются квадратами;

все двугранные углы равны 90^\circ ;

все многогранные углы равны между собой.

Замечание. Грани многогранника – это участки плоскостей, а ребра – отрезки прямых пересечения граней. Слова "сторона" следует избегать при описании многогранника. Так, если ребро куба равно a , то грань куба — квадрат со стороной a .

Площадью поверхности многогранника называется сумма площадей всех его граней. В случае куба (шестигранника) площадь поверхности равна 6a^2 .

Объем куба равен a^3 .

Взаимное расположение рёбер

Любые два ребра куба могут находиться в одном из трёх состояний:

параллельные рёбра лежат в параллельных плоскостях и имеют одинаковое направление (например, все вертикальные рёбра);

перпендикулярные ребра пересекаются под углом 90^\circ (например, рёбра, сходящиеся в одной вершине);

скрещивающиеся рёбра не пересекаются и не параллельны (например, вертикальное и горизонтальное ребро из разных плоскостей).

Диагонали куба

Диагональ грани (иногда называемая "малой диагональю") – отрезок, соединяющий две противоположные вершины одной грани (рис. 2).

Если ребро куба равно a , то длина диагонали любой грани равна a\sqrt{2} .

17 Рис. 2: Диагональ грани

Диагональ куба (главная диагональ) – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани (рис. 3).

Если ребро куба равно a , то длина главной диагонали равна a\sqrt{3} (рис. 4). Для нахождения этой длины нужно рассмотреть прямоугольный треугольник DD_1B_1 .

18 Рис. 3: Главная диагональ

19 Рис. 4: Иллюстрация к вычислению длины главной диагонали