Многогранники. Куб и его свойства.: Часть 2

Видео

Конспект

Решение задач на куб

Задача 1. Известно, что площадь поверхности куба S_{куба} = 24 . Найти объем куба.

Решение. Обозначим длину ребра куба через a . Напомним, что S_{куба} = 6a^2 . Найдем длину ребра куба: 6a^2 = 24, a^2 = 4\ \ \Rightarrow\ \ a=2. Отсюда получаем объем куба V = a^3 =8.

Задача 2. Известно, что площадь поверхности куба равна S_{куба} = 1.5 . Найти объем куба.

Решение. Аналогичным образом найдем длину ребра: 6a^2 = \frac{3}{2}, a^2 = \frac{1}{4}\ \ \Rightarrow\ \ a=\frac{1}{2}. Отсюда получаем V_{куба} = \frac{1}{8} = 0.125.

Задача 3. Объём первого куба в 729 раз больше объёма второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго?

Решение. Пусть a — ребро первого куба, b — ребро второго куба. Тогда из условия следует \frac{V_1}{V_2} = 729 = \frac{a^3}{b^3}. Найдём отношение рёбер: \frac{a^3}{b^3} = 729, \frac{a}{b} = \sqrt[3]{729} = \sqrt[3]{9\cdot 81} = 9. Таким образом, a=9b . Площадь второго куба выражается через b явно: S_2 = 6\cdot b^2. Поэтому площадь первого куба S_1 = 6\cdot \left( 9b \right) ^2. Отсюда получаем \frac{S_1}{S_2} = \frac{6\cdot \left( 9b \right) ^2}{6\cdot b^3} = \frac{81}{1}.

Задача 4. Объём первого куба в 125 раз больше объёма второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго?

Решение. Итак, по условию, \frac{V_1}{V_2} = \frac{125}{1}, то есть \frac{a^3}{b^3} = \frac{125}{1} = \frac{5^3}{1}. Отсюда получаем соотношение между рёбрами кубов: a=5b . Тогда \frac{S_1}{S_2} = \frac{6a^2}{6b^2} = \frac{a^2}{b^2} = \frac{25}{1}.

Задача 5. Если ребро куба увеличить на 3 , то объем куба увеличится на 279 . Найти первоначальную длину ребра куба.

Решение. Пусть a — исходная длина ребра. Распишем условие на разность объемов: V_2-V_1=279, \left( a+3 \right) ^3-a^3=279. Упростим это выражение, используя формулу для разности кубов: \left( a+3-a \right) \left( \left( a+3 \right) ^2+a\cdot \left( a+3 \right) +a^2 \right) = 279, 3\left( a^2+6a+9+a^2+3a+a^2 \right) = 279, 3a^2 + 9a+9=31\cdot 3, a^2+3a+3-31=0, a^2+3a-28=0, \left( a+7 \right) \left( a-4 \right) = 0. Отсюда получаем первоначальную длину ребра a=4 .