Многогранники. Куб и его свойства.: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 9. Диагональ куба равна d . Найти площадь поверхности куба.

20 Рис. 5: Иллюстрация к решению

Решение. Выразим ребро куба через диагональ. Обозначим ребро через a . Тогда диагональ грани куба равна \sqrt{2}a (рис. 5).

Чтобы найти выражение для диагонали d , рассмотрим плоскость, содержащую и основную диагональ, и диагональ грани (рис. 6).

Используя теорему Пифагора, получаем соотношение между ребром и диагональю куба: d=\sqrt{3} a или a=\frac{d}{\sqrt{3}} .

Теперь найдем площадь боковой поверхности: S = 6a^2 = 6 \frac{a^2}{3} = 2d^2.

21 Рис. 6: Иллюстрация к решению

Задача 10. Диагональ куба равна d=\sqrt{300} . Найдите его объём.

Решение. Найдём ребро куба: d=\sqrt{3} a\ \ \Rightarrow\ \ a=\frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{300}}{3}=10. Тогда объем куба V = a^3 = 1000.

22 Рис. 7: Иллюстрация к задаче

Задача 11. В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите угол \angle BD_1A_1 между главной диагональю BD_1 и ребром A_1D_1 (рис. 7).

Решение. Пусть ребро куба равно a . Рассмотрим треугольник BD_1A_1 (рис. 8). Этот треугольник прямоугольный, так как

A_1D_1 — ребро куба, перпендикулярное грани ABB_1A_1 ,

A_1B лежит в грани ABB_1A_1 .

Следовательно, A_1D_1 \perp A_1B .

Найдём синус искомого угла \angle BD_1A_1 : \sin \angle BD_1A_1 = \frac{\sqrt{2} a}{\sqrt{3} a} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.

23 Рис. 8: Иллюстрация к решению

Так как искомый угол острый, его можно однозначно определить по значению синуса: \angle BD_1A = \arcsin \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \right).