Многогранники. Куб и его свойства.: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 6. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объём увеличится на 19. Найдите первоначальную длину ребра куба.

Решение. Из условия задачи V_2 = V_1 + 19 следует \left( a+1 \right) ^3 = a^3+19. Решим это уравнение на a : a^3+3a^2+3a+1 = a^3+19, 3a^2+3a-18=0, a^2+a-6 = 0, \left( a+3 \right) \left( a-2 \right) = 0. Отсюда получаем a=2 .

Задача 7. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то площадь его поверхности увеличится на 54. Найдите первоначальную длину ребра куба.

Решение. Пусть a – исходная длина ребра. Тогда условие задачи S_{2} = S_1+54 в терминах a приобретает вид 6\left( a+1 \right)^2 = 6a^2+54. Решим это уравнение относительно a : a^2 +2a+1 = a^2+9. Отсюда получаем a=4 .

Задача 8. Разность объёма куба и площади его грани равна 4. Найдите площадь боковой поверхности куба.

Замечание. В данной задаче объём (кубические единицы) и площадь (квадратные единицы) сравниваются непосредственно. С физической точки зрения это некорректно, но в математической задаче мы работаем с безразмерными величинами или предполагаем, что численные значения даны в условных единицах.

Решение. Пусть a — длина ребра куба. По условию задачи V_{куба} - S_{гр} =4. Распишем это условие в терминах a : a^3-a^2=4, a^3-a^2-4=0. Решим это уравнение. Из уравнения видно, что a=2 является его корнем. Проверим, является ли этот корень единственным, разделив данное кубическое уравнение на a-2 : \begin{array}{r|l}

a^3-a^2-4 & a-2 \\

\cline{2-2}

a^3-2a^2 & a^2+a+2 \\

\cline{1-1}

a^2-4 & \\

a^2-2a & \\

\cline{1-1}

2a-4 & \\

2a-4 & \\

\cline{1-1}

0 &

\end{array} Таким образом, \left( a-2 \right) \left( a^2+a+2 \right) = 0, то есть a=2 – искомая длина ребра куба.

Найдем теперь площадь боковой поверхности: S_{куба}=6\cdot 2^2=24.