Пирамиды. Часть 2.: Часть 1

Видео

Конспект

Правильные пирамиды (задачи на площадь поверхности)

Задача. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 , боковое ребро равно 13 . Найдите площадь полной поверхности.

91 Рис. 1: Иллюстрация к решению

Решение.

Основание — квадрат со стороной 10 . Площадь основания: S_{осн} = 10^2 = 100.

Боковые грани — равные равнобедренные треугольники со сторонами 13, 13, 10 . Найдём апофему (высоту боковой грани). Высота к основанию 10 делит его пополам, получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 и катетом 5 : SH = h_a = \sqrt{AS^2 - AH^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12.

Периметр основания: P = 4 \cdot 10 = 40 . Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 12 = 240.

Полная поверхность: S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 240 = 340.

Задача. Правильная шестиугольная пирамида имеет сторону основания 10 и боковое ребро 13 . Найдите площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности.

92 Рис. 2: Иллюстрация к задаче

Решение.

Боковые грани – те же треугольники со сторонами 13, 13, 10 , поэтому апофема h_a = 12 (как в предыдущей задаче).

Периметр основания (правильный шестиугольник): P = 6 \cdot 10 = 60 . Площадь боковой поверхности: S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 12 = 360.

Площадь основания: правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников со стороной 10 . Площадь одного такого треугольника: S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (10 \sin 60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}. Тогда S_{осн} = 6 \cdot 25\sqrt{3} = 150\sqrt{3}.

93 Рис. 3: Иллюстрация к решению

Полная поверхность: S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 360 + 150\sqrt{3}.

Определение. Правильный тетраэдр – это правильная треугольная пирамида, у которой все рёбра равны (и боковые, и основания). Все его грани – равносторонние треугольники.

Задача. Во сколько раз увеличится объём правильного тетраэдра, если все его рёбра увеличить в 2 раза? Во сколько раз увеличится площадь поверхности?

Решение. При увеличении всех линейных размеров фигуры в k раз:

объём увеличивается в k^3 раз,

площадь поверхности – в k^2 раз.

Для k = 2 :

объём увеличится в 2^3 = 8 раз,

площадь поверхности – в 2^2 = 4 раза.

Можно также проверить через формулы. Для правильного тетраэдра со стороной a :

высота правильного треугольника h = \frac{\sqrt{3}}{2}a ;

радиус описанной окружности: R = \frac{a}{\sqrt{3}} ;

площадь основания S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ;

объём V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 ;

высота пирамиды: H = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}a .

При a \to 2a объём возрастает в 8 раз, площадь – в 4 раза.