Пирамиды. Часть 2.: Часть 2

Видео

Конспект

Задача на неправильную пирамиду

Задача. Дана четырёхугольная пирамида SABCD , основание ABCD – прямоугольник. Грань SAD перпендикулярна плоскости основания ABC . Высота пирамиды равна 6 . Все остальные боковые грани ( SAB , SBC , SCD ) наклонены к плоскости основания под углом 60^\circ . Найти объём пирамиды.

94 Рис. 4: Иллюстрация к задаче

Решение.

Так как (SAD) \perp (ABC) , то апофема грани SAD , опущенная из S на AD , является высотой всей пирамиды. Обозначим её SH = 6 ( H \in AD , SH \perp (ABC) ).

Рассмотрим двугранный угол между плоскостями SAB и ABC . Их пересечение – ребро AB . Поскольку SA \perp AB (так как SA \subset (SAD) и (SAD) \perp (ABC) , а AB лежит в основании), а AD \perp AB (прямоугольник), то угол между SA и AD равен углу между плоскостями. По условию этот угол равен 60^\circ .

Аналогично, для грани SCD : SD \perp CD , AD \perp CD , значит \angle ASD = 60^\circ . Следовательно, треугольник SAD – равносторонний (два угла по 60^\circ , значит и третий 60^\circ ). Тогда AD = SA = SD .

В равностороннем треугольнике высота SH = 6 (рис. 5). Отсюда \frac{SH}{SA} = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}. Сторона AD : AD = SA = \frac{2 \cdot SH}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}.

95 Рис. 5: Иллюстрация к решению

Теперь рассмотрим грань SBC . Её наклон к основанию также равен 60^\circ . Пусть M – середина BC , H – середина AD (поскольку H – основание высоты, H также является серединой AD в равностороннем треугольнике SAD ). Отрезок HM соединяет середины противоположных сторон прямоугольника, значит HM \parallel AB и HM = AB .

В плоскости SBC проведём SM ; в основании – HM . Обе прямые перпендикулярны BC : SM – медиана равнобедренного треугольника SBC (по равенству SB=SC ), HM – средняя линия прямоугольника. Поэтому угол между SM и HM равен двугранному углу между SBC и ABC , т.е. 60^\circ .

В прямоугольном треугольнике SMH ( SH \perp HM ) известны: SH = 6 , \angle SMH = 60^\circ . Тогда \tan 60^\circ = \frac{SH}{HM} \quad\Rightarrow\quad HM = \frac{SH}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}. Следовательно, AB = HM = 2\sqrt{3} .

Площадь основания (прямоугольник ABCD ): S_{ABCD} = AD \cdot AB = 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 24.

Объём пирамиды: V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 6 = 48.