Пирамиды. Часть 2.: Часть 3

Видео

Конспект

Задача на объём неправильной пирамиды

Задача. Дана треугольная пирамида SABC . Её основание ABC – правильный треугольник. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания (ABC) , причём SA = \sqrt{3} . Угол между ребром SC и плоскостью основания (ABC) равен 45^\circ . Найдите объём пирамиды.

96 Рис. 6: Иллюстрация к решению

Решение.

Так как SA \perp (ABC) , то SA является высотой пирамиды, и SA = \sqrt{3} . Также AC – проекция ребра SC на плоскость основания. Следовательно, угол между SC и плоскостью ABC равен \angle SCA = 45^\circ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник SAC ( SA \perp AC ). В нём \angle SCA = 45^\circ , значит \angle ASC = 45^\circ (сумма углов треугольника 180^\circ ). Таким образом, треугольник SAC равнобедренный, и SA = AC . Отсюда AC = SA = \sqrt{3}.

Так как треугольник ABC правильный, все его стороны равны, то AB = BC = AC = \sqrt{3} .

Найдём площадь основания ABC . Для правильного треугольника со стороной \sqrt{3} : S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}.

Объём пирамиды: V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{4}.

Пирамиды с попарно перпендикулярными боковыми рёбрами

Задача. В пирамиде ABCD рёбра AD, BD, CD попарно перпендикулярны и равны 3 . Найти объём пирамиды.

97 Рис. 7: Иллюстрация к решению

Решение. Перевернём пирамиду так, чтобы ребро AD стало высотой, а грань ABC — основанием (рис. 8).

Тогда AD \perp (ABC) , и AD = 3 . Треугольник ABC — прямоугольный с катетами AB = AC = 3 (так как AB = AC = 3 из условия). Площадь основания: S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{9}{2}.

98 Рис. 8: Иллюстрация к решению

Объём: V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot AD = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2}.

Задача. В пирамиде SABC рёбра SA, SB, SC попарно перпендикулярны и равны 2\sqrt{3} . Найти высоту пирамиды, опущенную из вершины S на основание ABC .

99 Рис. 9: Иллюстрация к задаче

Решение. Покажем, что пирамида правильная. Боковые рёбра равны, значит все боковые грани – равные равнобедренные прямоугольные треугольники. Следовательно, основания этих треугольников (стороны треугольника ABC ) равны: AB = BC = CA = \sqrt{SA^2 + SB^2} = 2\sqrt{6}. Значит, ABC – правильный треугольник. Так как боковые рёбра равны, вершина S проектируется в центр описанной окружности основания. Следовательно, пирамида правильная.

100 Рис. 10: Иллюстрация к решению

Найдём высоту SH . В правильном треугольнике ABC со стороной 2\sqrt{6} медиана BM (рис. 10): BM = BC \cdot \sin 60^\circ = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}. Центр H делит медиану в отношении 2:1 от вершины, поэтому BH = \frac{2}{3} BM = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}. В прямоугольном треугольнике SBH ( SH \perp BH ) известны SB = 2\sqrt{3} , BH = 2\sqrt{2} . Тогда SH = \sqrt{SB^2 - BH^2} = \sqrt{12 - 8} = \sqrt{4} = 2.

Решение (метод объёмов). Перевернём пирамиду на грань SAB (рис. 11). Тогда ребро SC станет высотой, а основанием будет прямоугольный треугольник SAB с катетами SA = SB = 2\sqrt{3} .

101 Рис. 11: Иллюстрация к решению

Объём пирамиды: V = \frac{1}{3} \cdot S_{SAB} \cdot SC = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BS\cdot SA\right) \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}.

Теперь найдём площадь основания ABC . Треугольник ABC правильный со стороной a = 2\sqrt{6} : S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 24 = 6\sqrt{3}. Пусть h – искомая высота из S на ABC . Тогда объём также равен V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot h = 2\sqrt{3} \cdot h. Приравниваем: 2\sqrt{3} \cdot h = 4\sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad h = 2.