Введение в стереометрию.: Часть 3

Видео

Конспект

Углы в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой, пересекающей плоскость, и этой плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость (рис. 12).

12

Рис. 12: Угол между прямой и плоскостью

Частные случаи:

Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен 90^\circ .

Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, угол равен 0^\circ .

Замечание. За угол между прямой и плоскостью принимается наименьший из возможных углов, то есть острый (или прямой).

Двугранный угол. Угол между плоскостями

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями (гранями), исходящими из одной прямой (ребра). Углом между двумя плоскостями называется величина соответствующего двугранного угла.

Алгоритм построения линейного угла (для измерения двугранного угла):

На ребре l пересечения плоскостей \alpha и \beta выбрать произвольную точку M .

В плоскости \alpha провести луч, перпендикулярно ребру l .

В плоскости \beta провести луч, перпендикулярно ребру l .

Угол между построенными перпендикулярами и является линейным углом двугранного угла. Его величина равна величине двугранного угла между плоскостями \alpha и \beta .

13 Рис. 13: Построение двугранного угла

Частный случай — перпендикулярные плоскости. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90^\circ , то есть если линейный угол — прямой.

Признак перпендикулярности плоскостей. Если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости, то эти две плоскости перпендикулярны (рис. 14).

14 Рис. 14: Признак перпендикулярности плоскостей

Замечание. Если плоскость \gamma перпендикулярна ребру l двугранного угла, то она перпендикулярна обеим граням \alpha и \beta этого угла (рис. 15).

15 Рис. 15: Иллюстрация к замечанию