Параллелепипеды. Часть 1.: Часть 4

Видео

Конспект

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

29 Рис. 6: Прямоугольный параллелепипед

Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны a , b , c (рис. 6). Грани представляют собой прямоугольники. Площади трёх различных граней:

S_1 = ab (передняя/задняя),

S_2 = ac (верхняя/нижняя),

S_3 = bc (левая/правая).

Каждая грань встречается дважды, поэтому полная площадь поверхности: S_{пов} = 2ab+2bc+2ac.

Задача. Два ребра прямоугольного параллелепипеда из одной вершины равны 3 и 4 . Площадь поверхности равна 52 . Найдите третье ребро.

Решение. Пусть известные рёбра: a = 4 , c = 3 . Неизвестное ребро – b . Подставляем в формулу: 52=2\cdot 4\cdot b+2\cdot b\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4. Отсюда получаем 14b = 52-24=28. Ответ: b=2 .

Задача. Два ребра прямоугольного параллелепипеда из одной вершины равны 2 и 1 . Объем равен 6 . Найдите площадь поверхности.

Решение. Пусть рёбра: a = 2 , b = 1 , третье ребро c неизвестно. Объём: V = abc. Отсюда получаем 6=1\cdot 2\cdot c. Теперь все рёбра известны: 2 , 1 , c=3 . Вычисляем площадь поверхности: S = 2\cdot 1\cdot 2+2\cdot 1\cdot 3+2\cdot 2\cdot 3=22. Замечание. При увеличении всех рёбер параллелепипеда в k раз площадь поверхности возрастает в k^2 раз, а объём – в k^3 раз. Это общее свойство подобных тел: объём растёт быстрее площади, что важно в физике и инженерии (ограничения прочности, теплоотдачи и т.п.).