Пирамиды. Часть 3.

Задачи на площади сечений в правильных пирамидах и тетраэдре Задача. Дана правильная треугольная пирамида $SABC$. Боковое ребро $SA = 2$, высота $SH = 1$. Через середины рёбер $AC$, $AB$ и $BS$ проведено сечение. Найдите площадь этого сечения. Рис. 5: Иллюстрация к задаче Решение. Обозначим середины данных рёбер (рис. 6): $K$ – середина $BC$, $L$ – середина $AB$, $M$ – середина $AC$. Соединяем точки, лежащие в одной грани: $K$ и $L$ (в грани $ABC$) – отрезок $KL$. $KL$ – средняя линия $\triangle ABS$. Отсюда следует, что $KL \parallel AS$. $L$ и $M$ (в грани $ABC$) – отрезок $LM$. Затем через точку $M$ проводим прямую, параллельную $KL$, до пересечения с ребром $SC$ в точке $N$. Так как $KL \parallel AS$ и $M$ – середина $AC$, то $MN$ – средняя линия треугольника $SAC$, следовательно $N$ – середина $SC$. Теперь соединяем $K$ и $N$ (они лежат в грани $SBC$). Полученный четырёхугольник $KLMN$ – искомое сечение. Обоснуем форму сечения (см. рис. 6): $KL$ – средняя линия треугольника $ABC$, поэтому $KL \parallel AS$ и $KL = \frac{1}{2}AS$. $MN$ – средняя линия треугольника $SAC$, поэтому $MN \parallel AS$ и $MN = \frac{1}{2}AS$. Следовательно, $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. Аналогично, $LM$ – средняя линия треугольника $ABC$, $LM \parallel BC$; $KN$ – средняя линия треугольника $SBC$, $KN \parallel BC$, причём $LM = KN = \frac{1}{2}BC$. Значит, $KLMN$ – параллелограмм. Рис. 6: Иллюстрация к решению Найдём сторону основания $BC$. Пусть $O$ – центр основания (точка пересечения медиан правильного треугольника $ABC$). В прямоугольном треугольнике $SOC$ ($SO$ – высота пирамиды, $SO = 1$, $SC = 2$) по теореме Пифагора: $$ OC = \sqrt{SC^2 - SO^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}. $$ В правильном треугольнике (рис. 7) продолжим $OC$ до пересечения со стороной $AB$ в точке $L$: $$ CL=\frac{3}{2}CO = \frac{3\sqrt{3}}{2}. $$ Рис. 7: Иллюстрация к решению Значит, $$ BC = \frac{3\sqrt{3}}{2} : \sin 60^\circ = 3. $$ Теперь нам известны все стороны сечения. Далее нам понадобится следующее утверждение. Важное свойство правильной треугольной пирамиды: противоположные рёбра (например, $AC$ и $BS$, $AB$ и $CS$, $BC$ и $AS$) попарно перпендикулярны. Доказательство. Отметим серединку $BC$ и назовём её точкой $T$ (рис. 8). Так как треугольник $SBC$ равнобедренный, то медиана $ST$ является также и высотой. А так как треугольник $ABC$ правильный, то медиана $AT$ тоже является высотой. Она проходит через точку $O$ (центр основания). Значит, плоскость $AST$ перпендикулярна отрезку $BC$, ведь в плоскости $AST$ содержатся $ST \perp BC$ и $AT \perp BC$. Следовательно, всё, что лежит в плоскости $AST$, перпендикулярно $BC$. В том числе и третья сторона этого треугольника – $AS$. Итак, $AS \perp BC$. Рис. 8: Иллюстрация к доказательству Воспользуемся этим свойством для решения нашей задачи. Так как $KL \parallel AS$, а $LM \parallel BC$, то $KL \perp LM$. Следовательно, параллелограмм $KLMN$ – прямоугольник со сторонами $1$ и $1.5$. Отсюда получаем $S = 1.5$.