Пирамиды. Часть 3.

Задача на объём пирамиды, вписанной в куб Задача. Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$. Её объём равен $12$. На ребре $SB$ отмечена середина $E$. Найдите объём треугольной пирамиды $EABC$. Рис. 2: Иллюстрация к задаче Рис. 3: Иллюстрация к решению Решение. Объем пирамиды рассчитывается по следующей формуле: $$ V_{EABC} = \frac{1}{3}h_E \cdot S_{ABC}, $$ где $h_E$ – высота, опущенная из точки $E$, то есть $EQ$. Очевидно (см. рис. 3), что $SO=2EQ$ (так как $ES=EB$, высоты $SO$ и $EQ$ параллельны). Отсюда получаем $$ V_{EABC} = \frac{1}{3}h_E \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2}h_s \right) \cdot \left( \frac{1}{2}S_{ABCD} \right) = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{3}h_s \cdot S_{ABCD} \right) = \frac{12}{4} = 3. $$ Задача. Объём куба равен $12$. Найдите объём четырёхугольной пирамиды, вершина которой находится в центре куба, а основанием служит одна из его граней. Рис. 4: Иллюстрация к задаче Решение. Можно доказать, что центр куба равноудален от противоположных граней куба. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда $$ V_{куба} = 12 = a^3. $$ Центр куба равноудалён от всех граней на расстояние $\frac{a}{2}$. Площадь грани (основания пирамиды) равна $a^2$. Объём пирамиды: $$ V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6} = \frac{12}{6} = 2. $$ Решение (способ 2). Соединим центр куба со всеми его вершинами. Куб разбивается на 6 равных четырёхугольных пирамид, у каждой из которых вершина – центр, а основание – грань куба. Эти пирамиды равны, так как все грани равны и центр равноудалён от них. Следовательно, объём одной такой пирамиды равен $\frac{1}{6}$ объёма куба: $$ V_{пир} = \frac{12}{6} = 2. $$