Призмы. Часть 2.: Часть 2

Видео

Конспект

Углы в правильной шестиугольной призме

Задача. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 . Все рёбра равны 5 . Требуется найти:

угол между прямыми FA и D_1E_1 ;

тангенс угла \angle AD_1D ;

тангенс угла \angle EC_1C .

70 Рис. 16: Иллюстрация к задаче

Решение. Если две прямые в пространстве не пересекаются и не параллельны, то углом между ними называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. Для этого нужно одну из прямых (или обе) перенести параллельно так, чтобы они пересеклись.

71 Рис. 17: Иллюстрация к решению

Прямые FA и D_1E_1 лежат в разных основаниях (нижнем и верхнем), поэтому они скрещивающиеся. Так как D_1E_1 \parallel DE , угол между FA и D_1E_1 равен углу между FA и DE ( FA и DE пересекаются, так как обе лежат в нижнем основании; они пересекаются под углом 120^\circ как внутренний угол шестиугольника). Однако угол между прямыми – это всегда острый или прямой угол, поэтому берём меньший из смежных. В правильном шестиугольнике внутренний угол равен 120^\circ , значит смежный с ним равен 60^\circ . Следовательно, угол между FA и DE равен 60^\circ . \angle (FA,D_1E_1) = \angle (FA,DE) = 60^\circ.

Найдем тангенс угла \angle AD_1D . Точки A , D_1 , D образуют прямоугольный треугольник ADD_1 (так как DD_1 \perp плоскости основания, а AD лежит в основании). Найдём катеты:

DD_1 – боковое ребро, равное 5 ;

AD – большая диагональ правильного шестиугольника. В правильном шестиугольнике со стороной a большая диагональ (соединяющая противоположные вершины) равна 2a . У нас a=5 , значит AD = 10 .

72 Рис. 18: Иллюстрация к решению

Тогда в прямоугольном треугольнике ADD_1 угол при вершине D – это \angle AD_1D . Противолежащий катет к этому углу – AD = 10 , прилежащий – DD_1 = 5 . Следовательно, \tan \angle AD_1D = \frac{AD}{DD_1} = \frac{10}{5} = 2.

Найдем тангенс угла \angle EC_1C .

73 Рис. 19: Иллюстрация к решению

Аналогично, точки E , C_1 , C образуют прямоугольный треугольник ECC_1 (боковое ребро CC_1 перпендикулярно основанию). В этом треугольнике:

CC_1 = 5 (высота призмы);

EC – диагональ правильного шестиугольника, соединяющая вершины через одну. В правильном шестиугольнике со стороной a такая диагональ равна a\sqrt{3} . У нас a=5 , значит EC = 5\sqrt{3} .

Угол \angle EC_1C – это угол при вершине C_1 в прямоугольном треугольнике ECC_1 (между C_1E и C_1C ). Противолежащий катет – EC = 5\sqrt{3} , прилежащий – CC_1 = 5 . Тогда \tan \angle EC_1C = \frac{EC}{CC_1} = \frac{5\sqrt{3}}{5} = \sqrt{3}.