Призмы. Часть 2.: Часть 4

Видео

Конспект

Задача на объём наклонной треугольной призмы

Задача. Дана наклонная треугольная призма ABCA_1B_1C_1 . Все рёбра призмы равны 2 . Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60^\circ . Найти объём призмы.

78 Рис. 24: Иллюстрация к задаче

Решение. Заметим, что призма не является правильной, так как она наклонная (правильная призма должна быть прямой).

Высота призмы – это расстояние между плоскостями оснований. Опустим перпендикуляр из точки A_1 на плоскость ABC ; пусть основание перпендикуляра – точка K . Тогда A_1K – высота призмы.

79 Рис. 25: Иллюстрация к решению

Рассмотрим прямоугольный треугольник A_1AK :

A_1A = 2 (боковое ребро);

угол между A_1A и плоскостью ABC равен 60^\circ . По определению угла между прямой и плоскостью, это угол между A_1A и её проекцией AK на плоскость ABC . Значит, в треугольнике A_1AK угол при вершине A равен 60^\circ , а угол при вершине K – 90^\circ .

Тогда гипотенуза A_1A = 2 , и катет A_1K (высота) лежит напротив угла 60^\circ : A_1K = A_1A \cdot \sin 60^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}. Таким образом, h = \sqrt{3} .

Найдем площадь основания. Основание ABC – правильный треугольник со стороной 2 (так как все рёбра равны 2 ). Площадь правильного треугольника со стороной 2 : S_0 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 = \sqrt{3}. Отсюда получаем объем: V = S_0 \cdot A_1K = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3.

Задача на объём наклонной шестиугольной призмы

Задача. Дана наклонная шестиугольная призма. В основании лежит правильный шестиугольник со стороной 2 . Боковое ребро равно 2\sqrt{3} и наклонено к плоскости основания под углом 30^\circ . Найдите объём призмы.

80 Рис. 26: Иллюстрация к задаче

Решение. Высота призмы – это расстояние между плоскостями оснований. Опустим перпендикуляр из точки A_1 (одной из вершин верхнего основания) на плоскость нижнего основания ABC ; пусть основание перпендикуляра – точка K . Тогда A_1K – высота призмы (рис. 27).

81 Рис. 27: Иллюстрация к решению

Рассмотрим прямоугольный треугольник A_1AK :

A_1A = 2\sqrt{3} (боковое ребро);

угол между A_1A и плоскостью основания равен 30^\circ . По определению, это угол между ребром и его проекцией на плоскость основания. Значит, в треугольнике A_1AK угол при вершине A равен 30^\circ , а угол при K – 90^\circ .

Тогда катет A_1K (высота) лежит напротив угла 30^\circ , следовательно: A_1K = 2\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}. Таким образом, высота призмы h = \sqrt{3} .

Найдем площадь основания. Основание – правильный шестиугольник со стороной 2 . Площадь правильного шестиугольника можно найти как сумму площадей шести равносторонних треугольников со стороной 2 (рис. 28).

82 Рис. 28: Иллюстрация к решению

Площадь одного такого треугольника: S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 = \sqrt{3}. Тогда площадь шестиугольника: S_0 = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}. По формуле объёма призмы ( V = S_0 \cdot h ): V = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18.