Многогранники. Часть 2.: Часть 2

Видео

Конспект

Задачи на углы в многогранниках

Для нахождения угла между отрезками в пространстве полезно:

Выделить треугольник, в котором этот угол является внутренним.

Найти длины всех сторон этого треугольника (используя плоскую или пространственную теорему Пифагора, а также свойства прямоугольных параллелепипедов).

Применить теорему косинусов (или заметить, что треугольник равносторонний/равнобедренный/прямоугольный, и угол находится сразу).

Задача. Дан многогранник — «ступенька» (рис. 15). Найти угол \angle CAB_1 .

50 Рис. 15: Иллюстрация к задаче

Решение. Построим треугольник CAB_1 . Найдём его стороны:

AC – диагональ квадрата со стороной 2, значит AC = 2\sqrt{2} .

AB_1 – диагональ квадрата со стороной 2 (в грани AA_1B_1B ), значит AB_1 = 2\sqrt{2} .

CB_1 – диагональ квадрата, полученного достраиванием грани BB_1LMPC до полного квадрата со стороной 2, значит CB_1 = 2\sqrt{2} .

Все три стороны равны, следовательно треугольник CAB_1 равносторонний. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60^\circ : \angle CAB_1 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}.

Задача. На том же чертеже найти угол \angle ADL , где точка L – вершина верхней ступеньки (см. рис. 15).

Решение. Рассмотрим треугольник ADL (рис. 16).

51 Рис. 16: Иллюстрация к решению

Найдём его стороны:

AD = 2 (ребро куба).

Найдём AL . Для этого используем пространственную теорему Пифагора для ломаной A \to B \to T \to L , где T – точка на ребре BC , такая что BT = 1 , TL = 2 (из размеров ступеньки). Все звенья попарно перпендикулярны. Тогда: AL^2 = AB^2 + BT^2 + TL^2 = 2^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9, откуда AL = 3 .

DL находится аналогично (или из симметрии фигуры): DL^2 = DC^2 + CT^2 + LT^2 = 9.

Итак, треугольник ADL имеет стороны AD = 2 , AL = 3 , DL = 3 (равнобедренный с основанием AD ). Найдём угол при вершине D : \cos \angle ADL = \frac{1}{3}. Следовательно, \angle ADL = \arccos\!\left(\frac{1}{3}\right).