Круглые тела. Часть 2.: Часть 2

Видео

Конспект

Конус: задачи на объём жидкости в коническом сосуде

Задача. В конический сосуд (бокал) налили жидкость до половины высоты (рис. 4). Объём налитой жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд до краёв?

125 Рис. 4: Иллюстрация к задаче

Решение. Пусть высота всего конуса h , радиус основания r . Уровень жидкости находится на высоте \frac{h}{2} . В сечении, параллельном основанию, получается круг радиуса \frac{r}{2} (из подобия треугольников, см. рис. 5).

126 Рис. 5: Иллюстрация к решению

Объём жидкости: V_0 = \frac{1}{3}\cdot \frac{h}{2} \cdot \pi \left( \frac{r}{2} \right)^2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} h\cdot \pi r^2 = \frac{1}{8}V, где V – объем сосуда.

Таким образом, нам требуется долить V_{д} = 7V_0 = 490\ мл.

Задача. Объём конического сосуда равен 54 мл. В него налили 2 мл жидкости. Во сколько раз высота сосуда больше высоты столба жидкости?

127 Рис. 6: Иллюстрация к задаче

Решение. Обозначим высоту, которую занимает жидкость, через h , а радиус основания конуса (который занимает жидкость) – через r . Рассмотрим треугольник SOA (рис. 7).

128 Рис. 7: Иллюстрация к решению

Здесь k – коэффициент подобия треугольников SOA и SQB .

Итак, объем жидкости нам известен: V_{ж} = \frac{1}{3}h\cdot \pi r^2 = 2\ мл. С другой стороны, объем сосуда V_c = \frac{1}{3}kh \cdot \pi \left( kr \right)^2 = 54\ мл. Упростим это выражение: V_c = \frac{1}{3}\pi h r^2 \cdot k^3. Отношение подобных друг другу тел равно кубу коэффициента подобия ( k^3 ): k^3 = \frac{V_c}{V_{ж}} = \frac{54}{2} = 27. Таким образом, k=3 .