Круглые тела. Часть 2.: Часть 4
Математика, 10 класс
Шар и сфера: определения, формулы, задачи Определения Сфера – множество точек пространства, равноудалённых от данной точки (центра) на расстояние R (радиус): \rho(O,M) = R . Шар – множество точек, рас...
Видео
Конспект
Шар и сфера: определения, формулы, задачи
Определения
Сфера – множество точек пространства, равноудалённых от данной точки (центра) на расстояние R (радиус): \rho(O,M) = R .
Шар – множество точек, расстояние от которых до центра не превосходит R : \rho(O,M) \leqslant R . Сфера является границей шара (аналогия: окружность – граница круга).
Основные формулы
Объём шара: V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3.
Площадь поверхности сферы (площадь шара): S_{сф} = 4\pi R^2.
Площадь центрального сечения шара (сечения плоскостью, проходящей через центр, см. рис. 14) равна \pi R^2 .
Заметим, что радиус всех остальных сечений будет меньше R .
135 Рис. 14: Центральное сечение шара
Задачи
Задача. Площадь центрального сечения шара равна 9 . Найдите площадь шара.
Решение. Центральное сечение – круг радиуса R , его площадь S_{шара} = 4\pi R^2 = 4S_{ц.с.} = 36.
Задача. Площадь центрального сечения первого шара равна 1 . Радиус второго шара в 6 раз больше радиуса первого. Найдите площадь поверхности второго шара.
Решение. Найдем радиус первого шара. Из формулы площади центрального сечения \pi R_1^2 = 1 получаем R_1 = \frac{1}{\sqrt{\pi}}. По условию, радиус второго шара в 6 раз больше радиуса первого шара: R_2 = \frac{6}{\sqrt{\pi}}. Теперь мы можем найти площадь поверхности второго шара: S_{2пов} = 4\pi R_2^2 = 4\pi \cdot \frac{36}{\pi} = 144.
Задача. Радиусы трёх шаров равны R_1=6 , R_2=8 и R_3=10 . Найдите радиус шара \widetilde{R} , объём которого равен сумме объёмов этих трёх шаров \widetilde{V} .
Решение. Объём большого шара: \begin{aligned}
\widetilde{V} &=& V_1+V_2+V_3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^3 +\frac{4}{3}\pi \cdot 8^3 + \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3 = \\
&=& \frac{4}{3} \pi \left( 216+512+1000 \right) = \frac{4}{3}\pi \cdot 1728 = \frac{4}{3}\pi \cdot 12^3.
\end{aligned} Отсюда получаем R=12 .
Задача. Радиусы трёх шаров равны R_1=3 , R_2=4 и R_3=12 . Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей этих трёх шаров.
Решение. Площадь поверхности шара: S = 4\pi R^2 . Сумма площадей: \widetilde{S} = S_1+S_2+S_3 = 4\pi \left( 9+16+144 \right) = 4\pi \cdot 169 = 4\pi \cdot 13^2. Отсюда получаем R=13 .