Параллелепипеды. Часть 2.: Часть 3

Видео

Конспект

Задача на построение сечения

Задача. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 даны рёбра: AB=2 , AD=\sqrt{5} , AA_1=2 . Точка K – середина BB_1 . Найти площадь сечения через A_1,D_1,K .

Решение. Сперва построим сечение:

Отрезок A_1D_1 является ребром параллелепипеда, поэтому он принадлежит сечению.

Отрезок A_1K лежит в грани AA_1B_1B (обе точки принадлежат этой грани), значит он тоже сторона сечения.

Через точку K проводим прямую, параллельную A_1D_1 . Так как A_1D_1 \parallel BC (и вообще параллельна горизонтальным рёбрам), то эта прямая будет параллельна ребру BC и пересечёт ребро CC_1 в некоторой точке L .

Обоснование: прямая, проведённая через точку сечения параллельно уже имеющейся стороне сечения, лежит в плоскости сечения (правило построения сечений). Точка L – середина CC_1 (так как K – середина BB_1 , а прямоугольник BCC_1B_1 рассекается средней линией).

Соединяем D_1 и L (они лежат в грани DCC_1D_1 ) – получаем четвёртую сторону.

Полученный четырёхугольник A_1D_1LK – искомое сечение (рис. 12).

35 Рис. 12: Иллюстрация к решению

Обоснуем форму сечения:

A_1D_1 \perp (AA_1B_1B) , так как в прямоугольном параллелепипеде ребро перпендикулярно грани, в которой оно не лежит.

Отрезок A_1K лежит в плоскости (AA_1B_1B) , значит A_1D_1 \perp A_1K .

Отрезок D_1L лежит в плоскости (DCC_1D_1) , которая также перпендикулярна A_1D_1 (так как A_1D_1 \parallel AD , а AD перпендикулярна плоскости DCC_1D_1 ), следовательно A_1D_1 \perp D_1L .

KL \parallel A_1D_1 по построению, значит KL перпендикулярна A_1K и D_1L .

Все углы четырёхугольника A_1D_1LK прямые, значит это прямоугольник.

Осталось найти стороны сечения и вычислить его площадь:

A_1D_1 = AD = \sqrt{5} (противоположные рёбра равны).

Найдём A_1K . Рассмотрим прямоугольный треугольник A_1B_1K :

По теореме Пифагора: A_1K = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1K^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}.

A_1B_1 = AB = 2 ,

B_1K = \frac{1}{2}BB_1 = \frac{1}{2}AA_1 = 1 (так как K – середина BB_1 ).

Так как A_1D_1 = A_1K = \sqrt{5} , прямоугольник является квадратом. Площадь: S = A_1D_1 \cdot A_1K = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5.