Пирамиды. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости и прямой. Углы и расстояния между прямыми в пространстве: Часть 4

Видео

Конспект

Пример 5.24

В пирамиде SABC известны длины ребер AB=AC=SB=SC=10 , BC=SA=12 . Точка K — середина ребра BC .

а) Докажите, что плоскость SAK перпендикулярна плоскости ABC .

б) Найдите расстояние между прямыми SA и BC .

Stereo_2_64

Рис. 10: К примеру 5.24

Решение.

а) По условию \triangle ABC равнобедренный, поэтому медиана AK также будет высотой (рис. 10). Аналогично SK — высота \triangle SBC . Отсюда следует, что BC \perp SAK , поскольку она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Так как плоскость ABC проходит через прямую BC \perp SAK , то она перпендикулярна плоскости SAK .

б) Высота KH \triangle ASK будет искомым общим перпендикуляром к прямым AS и BC , поскольку прямой AS она перпендикулярна по построению, а прямой BC перпендикулярна, так как лежит в плоскости SAK . Из \triangle ABK получаем, что AK = 8 , аналогично из \triangle SBK SK = 8 . Отсюда следует, что \triangle ASK равнобедренный, и высота KH также является медианой. Таким образом, из \displaystyle \triangle SHK находим HK = 2\sqrt 7 .

Ответ: б) \displaystyle 2\sqrt 7 .

Задача 5.25

Длина стороны основания правильной треугольной пирамиды равна a , а величина плоского угла при вершине — \theta . Найдите расстояние между боковым ребром пирамиды и скрещивающейся с ним стороной основания.

Stereo_2_7_s

Рис. 11: К задаче 5.25

Решение.

Рисунок 5.25.

Ответ: \displaystyle \frac{a}{2} \sqrt{1 + 2\cos \theta} .