Пирамиды. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости и прямой. Углы и расстояния между прямыми в пространстве: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 5.19

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: AB=21\sqrt3 , SC=29 . Точки M и N — середины рёбер AS и BC соответственно.

а) Докажите что отрезок MN делится пополам высотой пирамиды, проведенной из вершины S .

б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN .

Stereo_2_98_s

Рис. 5: К задаче 5.19

Решение.

а) Пусть SO — высота пирамиды, O — центр основания ABC , AN — медиана в \triangle ABC (рис. 5). Так как \triangle ABC правильный, то O — точка пересечения медиан, O \in AN . AO — радиус описанной окружности: AO = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{21\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 21 . O делит медиану AN в отношении 2:1 , считая от вершины, поэтому ON = \frac{1}{2}AO = \frac{21}{2} .

Рассмотрим плоскость (SAN) , в которой лежат точки A, M, S, O, N . Прямая MN пересекает высоту SO в некоторой точке K . Применим теорему Менелая для \triangle ANM и секущей SOK : \frac{AO}{ON} \cdot \frac{NK}{KM} \cdot \frac{MS}{SA} = 1 По условию M — середина AS , значит MS = MA , а SA=2MS . Пирамида правильная, поэтому SA=SB=SC=29 . MS = \frac{29}{2} , SA=29 , следовательно \frac{MS}{SA} = \frac{1}{2} . Подставляем известные отношения в уравнение: \frac{21}{21/2} \cdot \frac{NK}{KM} \cdot \frac{29/2}{29} = 1 \Longrightarrow \frac{NK}{KM} = 1 \implies NK = KM. Следовательно, точка K (точка пересечения MN с высотой SO ) является серединой отрезка MN .

б) Угол между прямой MN и плоскостью основания (ABC) — это угол между прямой MN и ее проекцией на эту плоскость. Обозначим этот угол \beta . Прямая MN проходит через точку K на высоте SO и точку N в плоскости основания. Проекцией отрезка KN на основание является отрезок ON . Высота точки K над основанием равна длине отрезка KO . Таким образом, \tg\beta = \frac{KO}{ON} .

Применим теорему Менелая для \triangle ASO и секущей MKN : \frac{AM}{MS} \cdot \frac{SK}{KO} \cdot \frac{ON}{NA} = 1

M — середина AS , поэтому \frac{AM}{MS} = 1 .

NA = AO + ON = 21 + \frac{21}{2} = \frac{63}{2} . Отношение \frac{ON}{NA} = \frac{21/2}{63/2} = \frac{1}{3} .

Подставляем в уравнение: 1 \cdot \frac{SK}{KO} \cdot \frac{1}{3} = 1 \implies \frac{SK}{KO} = 3 Отсюда SO = SK + KO = 3KO + KO = 4KO , то есть KO = \frac{1}{4}SO .

Найдем высоту пирамиды SO из прямоугольного \triangle ASO : SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{29^2 - 21^2} = 20. Теперь найдем длину KO : KO = \frac{1}{4}SO = \frac{1}{4} \cdot 20 = 5. Вычислим тангенс искомого угла: \tg\beta = \frac{KO}{ON} = \frac{5}{21/2} = \frac{10}{21}.

Ответ: б) \displaystyle \arctg\frac{10}{21} .

Пример 5.20

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковые ребра равны 2 , а стороны основания — 1 .

а) Докажите, что плоскость, проходящая через вершину S и середины ребер AF и CD , перпендикулярна плоскости основания.

б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью SAF .

Stereo_2_44

Рис. 6: К примеру 5.20

Решение.

а) Пусть M_1 и M_2 — середины отрезков AF и CD соответственно (рис. 6). Отрезок M_1M_2 содержит центр основания O , поэтому плоскость сечения проходит через высоту пирамиды SO , следовательно, плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания.

б) Поскольку M_1M_2 \parallel AC , то угол между прямой AC и плоскостью SAF равен углу между M_1M_2 и этой плоскостью. Так как AF \perp SM_1 и AF\perp M_1O , то AF перпендикулярна плоскости сечения. Проведем высоту OH в \triangle SOM_1 . Она будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым SM_1 и AF , следовательно, и плоскости SAF . Отсюда получаем, что M_1 H — проекция M_1O на плоскость SAF , следовательно, \angle SM_1 O равен искомому углу. Из прямоугольного \triangle SM_1A получаем \displaystyle SM_1 = \frac{\sqrt{15}}{2} , а из прямоугольного \triangle SM_1O находим \displaystyle \cos \angle SM_1O = \frac{M_1O}{SM_1} = \frac{\sqrt 5}{5} .

Ответ: б) \displaystyle \frac{\sqrt 5}{5} .