Параллелепипед.Угол между: прямой и плоскостью, прямыми; Расстояние от точки до: плоскости и прямой в пространстве; Объем.: Часть 3

Видео

Конспект

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Пример 3.26

ЕГЭ-2013, пробный вариант, С.Петербург, №14.

Длины ребер AB , AA_1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 равны соответственно 12 , 16 и 15 .

Докажите, что объем пирамиды A_1BDC_1 втрое меньше объема параллелепипеда.

Найдите расстояние от вершины A_1 до прямой BD_1 .

Решение.

а) Объем пирамиды A_1BDC_1 можно найти, вычтя из объема всего параллелепипеда V_{парал} объемы четырех пирамид по углам: A_1ADB , D_1A_1DC_1 , C_1BCD и B_1A_1BC_1 (рис. 7).

Stereo_2_53_s

Рис. 7: К примеру 3.26

Объем параллелепипеда: V_{парал} = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 12 \cdot 15 \cdot 16 = 2880.

Найдем объемы <<угловых>> пирамид.

V_{A_1ADB} = \frac{1}{3} S_{\triangle ADB} \cdot AA_1 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} AD \cdot AB\right) \cdot AA_1 = \frac{1}{6} \cdot 15 \cdot 12 \cdot 16 = 480.

V_{D_1A_1DC_1} = \frac{1}{3} S_{\triangle A_1D_1C_1} \cdot DD_1 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} A_1D_1 \cdot D_1C_1\right) \cdot DD_1 = \frac{1}{6} \cdot 15 \cdot 12 \cdot 16 = 480.

V_{C_1BCD} = \frac{1}{3} S_{\triangle BCD} \cdot CC_1 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} BC \cdot CD\right) \cdot CC_1 = \frac{1}{6} \cdot 15 \cdot 12 \cdot 16 = 480.

V_{B_1A_1BC_1} = \frac{1}{3} S_{\triangle A_1B_1C_1} \cdot BB_1 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} A_1B_1 \cdot B_1C_1\right) \cdot BB_1 = \frac{1}{6} \cdot 12 \cdot 15 \cdot 16 = 480.

Суммарный объем этих четырех пирамид равен 4 \cdot 480 = 1920 . Объем пирамиды A_1BDC_1 равен: V_{A_1BDC_1} = V_{парал} - 4 \cdot \left(\frac{1}{6} V_{парал}\right) = \frac{1}{3} V_{парал}. V_{A_1BDC_1} = 2880 - 1920 = 960. Проверяем: \frac{1}{3}V_{парал} = \frac{1}{3} \cdot 2880 = 960.

б) Искомое расстояние — это высота A_1H , опущенная из вершины A_1 на гипотенузу BD_1 в треугольнике \triangle A_1BD_1 . Найдем стороны этого треугольника.

В прямоугольном \triangle A_1AB : A_1B = \sqrt{AA_1^2 + AB^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20.

A_1D_1 — ребро параллелепипеда, A_1D_1 = AD = 15 .

BD_1 — диагональ параллелепипеда: BD_1 = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{12^2 + 15^2 + 16^2} = 25.

Рассмотрим \triangle A_1BD_1 со сторонами 15 , 20 , 25 .

Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами: S_{\triangle A_1BD_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1D_1 \cdot A_1B = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150. S_{\triangle A_1BD_1} = \frac{1}{2} \cdot BD_1 \cdot A_1H = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot A_1H. Приравняем эти два выражения: \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot A_1H = 150 \Longrightarrow A_1H = \frac{300}{25} = 12.

Ответ: б) 12 .

Угол между прямыми в пространстве

Пример 3.27

Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами \alpha и \beta (рис. 8). Найдите угол между этими диагоналями.

Stereo_2_39

Рис. 8: К примеру 3.27

Решение.

Искомый угол будет равен углу между прямыми A_1 D и BC_1 , так как DC_1 \parallel AB_1 (рис. 9). Найдем его из \triangle A_1C_1D по теореме косинусов. Пусть AA_1 = c . Тогда A_1D = \frac{c}{\sin\alpha} , а DC_1 = AB_1 = \frac{c}{\sin\beta} . Далее, A_1D_1 = c \ctg\alpha и D_1C_1 = c \ctg\beta , тогда A_1C_1 = c \sqrt{\ctg^2 \alpha + \ctg^2 \beta} . Отсюда \displaystyle

\cos \angle A_1DC_1 = \frac{\frac{c^2}{\sin^2\alpha} + \frac{c^2}{\sin^2\beta} - c^2 \left(\ctg^2 \alpha + \ctg^2 \beta \right)}{2 \frac{c}{\sin\alpha}\frac{c}{\sin\beta}} = \sin\alpha \sin \beta. Ответ: \arccos (\sin \alpha \sin\beta) .

Stereo_2_38

Рис. 9: К примеру 3.27