Параллелепипед.Угол между: прямой и плоскостью, прямыми; Расстояние от точки до: плоскости и прямой в пространстве; Объем.: Часть 2

Видео

Конспект

Расстояние от точки до плоскости

Пример 3.24

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 ребра BC = 8 , CD = 3 , BB_1 = 6 . Точка Q — середина ребра CC_1 . Найдите расстояние от точки A до плоскости BD_1Q .

Stereo_2_37

Рис. 5: К примеру 3.24

Решение.

Построим сечение параллелепипеда плоскостью BD_1Q : соединим точки Q и D_1 ; проведем BP \parallel D_1Q (плоскость сечения пересекает параллельные грани). Точка Q — середина ребра CC_1 , поэтому точка P — середина ребра AA_1 , QP \parallel AC . Прямая AC \parallel (PQB) , значит, расстояние от точки A до плоскости (PQB) равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Опустим перпендикуляр BN на AC . Восстановим перпендикуляр из точки N к плоскости основания, который пересечет плоскость сечения в точке M . Плоскость MNB перпендикулярна плоскости сечения, поэтому высота h \triangle NMB , проведенная из точки N , будет искомым расстоянием.

Рассмотрим прямоугольный \triangle ABC , NB — его высота, NB = \frac{BC \cdot AB}{AC} = \frac{8 \cdot 3}{\sqrt{64 + 9}} = \frac{24}{\sqrt{73}}. Далее аналогично из прямоугольного \triangle MNB h = \frac{MN \cdot NB}{MB} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{24}{\sqrt{73}}}{\sqrt{9 + \frac{24^2}{73}}} = \frac{24}{\sqrt{137}}. Ответ: \frac{24}{\sqrt{137}} .

Задача 3.25

ЕГЭ-2024, досрочный вариант, № 14.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известно, что AB = 3 , A D = 4 и A A_1 = 6 . Через точки B_1 и D параллельно прямой AC проведена плоскость, пересекающая ребро CC_1 в точке K .

а) Докажите, что K — середина CC_1 .

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения.

Решение.

а) Построим сечение. Обозначим плоскость сечения как \alpha . По условию, плоскость \alpha проходит через точки B_1 и D и параллельна прямой AC .

Так как \alpha \parallel AC , то линия пересечения плоскости \alpha с плоскостью основания (ABC) должна быть параллельна AC . Проведем через точку D прямую, параллельную AC . Продлим ребра BC и BA до пересечения с этой прямой в точках P_1 и P_2 соответственно. Точки P_1 и P_2 принадлежат плоскости сечения \alpha (рис. 6).

Stereo_2_52_s

Рис. 6: К задаче 3.25

В плоскости основания (ABC) четырехугольник AC P_1 D является параллелограммом (по построению DP_1 \parallel AC , и так как ABCD — основание параллелепипеда, AD \parallel BC , а значит AD \parallel CP_1 ). Следовательно, CP_1 = AD = 4 . Аналогично, P_2ACD — параллелограмм, откуда следует, что AP_2 = DC = AB = 3 .

Теперь рассмотрим сечение. Оно проходит через точки B_1 , K и P_1 . Рассмотрим прямоугольные треугольники \triangle B_1C_1K и \triangle P_1CK (углы при вершине C_1 и C прямые).

B_1C_1 = AD = 4 (как противоположные стороны грани A_1B_1C_1D_1 и ADD_1A_1 ).

CP_1 = 4 (как доказано выше).

Следовательно, катеты B_1C_1 = CP_1 .

\angle B_1KC_1 = \angle P_1KC как вертикальные углы.

Таким образом, \triangle B_1C_1K = \triangle P_1CK по катету и острому углу. Из равенства треугольников следует, что C_1K = CK . Так как точка K лежит на ребре CC_1 , то K является его серединой.

б) Плоскость сечения определяется точками B_1, D, P_1, P_2 . Обозначим ее (B_1DP_1) . Искомое расстояние — это длина перпендикуляра из точки B на эту плоскость.

1. В плоскости основания (ABC) проведем высоту BN в треугольнике \triangle P_2BP_1 . То есть BN \perp P_1P_2 . 2. Поскольку BB_1 — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда, BB_1 \perp (ABC) , а значит BB_1 \perp P_1P_2 . 3. Из того, что BN \perp P_1P_2 и BB_1 \perp P_1P_2 , следует, что прямая P_1P_2 перпендикулярна плоскости (B_1BN) . 4. Так как прямая P_1P_2 лежит в плоскости сечения (B_1DP_1) , то плоскости (B_1BN) и (B_1DP_1) взаимно перпендикулярны. 5. Проведем в плоскости (B_1BN) высоту BH к гипотенузе B_1N . Так как BH \subset (B_1BN) и (B_1BN) \perp (B_1DP_1) , то BH является перпендикуляром к плоскости сечения. Длина BH и есть искомое расстояние.

Найдем длину BH из прямоугольного \triangle B_1BN .

Сначала найдем стороны \triangle P_2BP_1 в плоскости основания:

BP_2 = BA + AP_2 = 3 + 3 = 6 .

BP_1 = BC + CP_1 = 4 + 4 = 8 .

\triangle P_2BP_1 прямоугольный, так как \angle B = 90^\circ . По теореме Пифагора: P_1P_2 = \sqrt{BP_2^2 + BP_1^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10.

Площадь \triangle P_2BP_1 равна: S_{\triangle P_2BP_1} = \frac{1}{2} \cdot BP_2 \cdot BP_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24. С другой стороны, площадь можно выразить через высоту BN : S_{\triangle P_2BP_1} = \frac{1}{2} \cdot P_1P_2 \cdot BN = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot BN = 5 \cdot BN. Отсюда 5 \cdot BN = 24 \Rightarrow BN = \frac{24}{5} .

Теперь рассмотрим прямоугольный \triangle B_1BN :

BB_1 = 6 (по условию).

BN = \frac{24}{5} .

По теореме Пифагора найдем гипотенузу B_1N : B_1N = \sqrt{BB_1^2 + BN^2} = \sqrt{6^2 + \left(\frac{24}{5}\right)^2} = \frac{6\sqrt{41}}{5}.

Площадь прямоугольного \triangle B_1BN равна: S_{\triangle B_1BN} = \frac{1}{2} \cdot BB_1 \cdot BN = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{24}{5} = \frac{72}{5}. С другой стороны, через высоту BH : S_{\triangle B_1BN} = \frac{1}{2} \cdot B_1N \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \frac{6\sqrt{41}}{5} \cdot BH = \frac{3\sqrt{41}}{5} \cdot BH. Приравниваем оба выражения для площади: \frac{3\sqrt{41}}{5} \cdot BH = \frac{72}{5} BH = \frac{72}{5} \cdot \frac{5}{3\sqrt{41}} = \frac{72}{3\sqrt{41}} = \frac{24}{\sqrt{41}}.

Ответ: б) \displaystyle \frac{24\sqrt{41}}{41} . Может быть следует сделать примером!