Баллистика. Оптимальный бросок. Векторный метод
Физика, 9 класс
Удары и отскоки от наклонной плоскости Вспомним, что при равноускоренном движении в любой момент времени вектор скорости направлен вдоль медианы. В случаях «оптимального» бросания камня треугольник пе...
Удары и отскоки от наклонной плоскости
Вспомним, что при равноускоренном движении в любой момент времени вектор скорости направлен вдоль медианы. В случаях «оптимального» бросания камня треугольник перемещений будет равнобедренным! В самом деле, конечная скорость камня должна быть перпендикулярна начальной скорости, а в то же время она направлена вдоль медианы. Значит, рассматриваемая медиана в треугольнике перемещений одновременно является и высотой. Следовательно, треугольник перемещений равнобедренный.
Используем это свойство при решении следующей задачи.
Задача 5. Камень бросают с горы, имеющей постоянный угол наклона \gamma к горизонту. Под каким углом \alpha к поверхности горы надо бросать камень, чтобы дальность его полёта s была максимальной? Чему равна эта дальность, если его начальная скорость равна v_{0} ? Сколько времени будет длиться полёт?
Решение. Воспользуемся тем, что при бросании на максимальную дальность треугольник перемещений является равнобедренным, и используя геометрию (см. рис. 9), получим: \alpha+\alpha+\left(\frac{\pi}{2}-\gamma\right)=\pi . Откуда получаем искомый угол: \alpha=\frac{\pi}{4}+\frac{\gamma}{2}=45^{0}+\frac{\gamma}{2} .
9 Рис. 9
В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают между собой (рис. 10).
10 Рис. 10
Треугольник перемещений является равнобедренным, значит s=\frac{g t^{2}}{2} . Из прямоугольного треугольника получим \cos \alpha=\frac{\frac{v_{0} t}{2}}{s}=\frac{\frac{v_{0} t}{2}}{\frac{g t^{2}}{2}}=\frac{v_{0}}{g t} . Подставляя найденное выражение для угла \alpha=\frac{\pi}{4}+\frac{\gamma}{2} , получим t=\frac{v_{0}}{g \cos \alpha}=\frac{v_{0}}{g} \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\gamma}{2}\right)} .
Проведя тригонометрические преобразования, докажите, что последнее выражение принимает вид t=\frac{v_{0}}{g} \sqrt{\frac{2}{1-\sin \gamma}} .
Подставляя в выражение s=\frac{g t^{2}}{2} найденное выражение для времени полёта, получаем S=\frac{v_{0}^{2}}{g(1-\sin\gamma)} .