Баллистика. Оптимальный бросок. Векторный метод

Задача 2. С какой минимальной скоростью v_{0} необходимо бросить камень с поверхности земли, под углом \alpha к горизонту, чтобы дальность его полёта была максимальной?

Решение. Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Мы получили, что начальная скорость должна быть направлена по биссектрисе угла между вертикалью и вектором перемещения (рис. 6).

6 Рис. 6

При таком полёте мяча вектор его перемещения направлен горизонтально, а значит образует угол 90^{\circ} с вертикалью. Таким образом 90^{\circ}= 2 \delta , откуда угол \alpha=\delta=45^{\circ} . Такой же результат мы получали при решении задачи координатным методом.

Задача 3. Камень бросают с башни высотой H с начальной скоростью v_{0} . Под каким углом \alpha к горизонту надо бросить камень, чтобы дальность его полёта была максимальной?

Решение. Воспользуемся законом сохранения механической энергии \frac{m v_{0}^{2}}{2}+m g h=\frac{m v^{2}}{2} , откуда после сокращений получим выражение для конечной скорости камня v=\sqrt{v_{0}^{2}+2 g h} .

Изобразим треугольник скоростей (см. рис. 7).

7 Рис. 7

Обозначим \beta \hat{a} угол между \vec{v} и \vec{v}_{0} . Найдём площадь треугольника скоростей; как половину произведения основания треугольника на его высоту S=\frac{1}{2} g t \cdot v_{0} \cos \alpha , а также, как половину произведения сторон на синус угла между ними S=\frac{1}{2} v v_{0} \sin \beta . Учтём, что l=v_{0} \cos \alpha t , получим поле сокращения на 1 / 2 следующее выражение для дальности полёта: l=\frac{v v_{0} \sin \beta}{g} .

Задача 4. Камень брошен с башни так, что дальность полёта максимальна. Начальная скорость камня v_{0}=3 м/с, конечная v=4 м/с. Найдите время полёта камня.

Решение. Воспользуемся законом сохранения механической энергии \frac{m v_{0}^{2}}{2}+m g h= \frac{m v^{2}}{2} , откуда после сокращений получим выражение для конечной скорости камня v=\sqrt{v_{0}^{2}+2 g h} .

Изобразим треугольник скоростей (см. рис. 8).

8 Рис. 8

Обозначим \beta â угол между \vec{v} и \vec{v}_{0} . Найдём площадь треугольника скоростей; как половину произведения основания треугольника на его высоту S=\frac{1}{2} g t \cdot v_{0} \cos \alpha , а также, как половину произведения сторон на синус угла между ними S=\frac{1}{2} v v_{0} \sin \beta . Учтём, что l=v_{0} \cos \alpha t , получим поле сокращения на 1 / 2 следующее выражение для дальности полёта: l=\frac{v v_{0} \sin \beta}{g} , которое достигает максимума при \beta=90^{\circ} , то есть, когда векторы \vec{v} и \vec{v}_{0} перпендикулярны друг другу. Значит треугольник скоростей является прямоугольным.

Применяя теорему Пифагора, находим t=\frac{\sqrt{v_{0}^{2}+v^{2}}}{g}=0,5 с.