ВАХ. Нелинейные элементы Часть 3: ВАХ. Нелинейные элементы

Задача 5

Условие

Связь между напряжением U на лампе накаливания и силой тока, текущего через неё, даётся формулой I \sim U^{3 / 5} . Две лампы с номинальными напряжениями 220 \ B и номинальными мощностями P_1=40 Вт и P_2=100 Вт включили последовательно в сеть 220 В. Какое напряжение падает на лампе меньшей номинальной мощности?

Решение

Переформулируем зависимости I(U) для ламп:

I_1 = k_1 U_1^{3/5} ; I_2 = k_2 U_2^{3/5} .

Обозначим величину в 220 В за U_0.

Тогда P_1 = U_0 \cdot k_1 U_0^{3/5}, P_2 = U_0 \cdot k_2 U_0^{3/5}, откуда k_1 = \frac{P_1}{U_0^{8/5}}, k_2 = \frac{P_2}{U_0^{8/5}}.

Пусть при подключении последовательно, на первой лампе падает напряжение U_x, а сила тока, идущего через лампы равна I_x . Тогда I_x = k_1 U_x^{3/5}, \quad I_x = k_2 (U_0 - U_x)^{3/5}, откуда \frac{k_1}{k_2} = \left(\frac{U_0 - U_x}{U_x}\right)^{3/5}. Обозначим U_0/U_x как t . Тогда, учитывая начальные уравнения: \frac{P_1}{P_2} = (x - 1)^{3/5} \ => \ x = \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{5/3} + 1 \approx 1.217. Окончательно U_x = U_0/x \approx 181 \ В.

Ответ U_x \approx 181 \ В.

Задача 6

Условие

Лампы накаливания обычно являются нелинейными элементами электрических цепей - ток в них не пропорционален напряжению. Допустим, у нас есть набор ламп, для которых связь тока и напряжения дается формулой

I(U)=I_0 \sqrt{\frac{U}{U_0}}, где значения I_0 и U_0 соответствуют номинальному режиму. Кроме того, мы можем использовать набор одинаковых батарей с ЭДС E=U_0 . Если подключить одну лампу к одной батарее, то на лампе будет выделяться мощность P=\frac{27}{64} P_0 ( P_0 - номинальная мощность). Из какого минимального количества последовательно соединённых ламп надо составить гирлянду, чтобы при подключении её к некоторому количеству последовательно соединённых батарей все лампы гирлянды работали в точности в номинальном режиме? Сколько батарей нужно будет для этого использовать?

Решение

Рассмотрим одну лампу, подключенную к одной батарее. Напряжение на лампе связано с током через нее U_0-I r=U_0\left(\frac{I}{I_0}\right)^2. С другой стороны, выделяемая на лампе мощность как функция тока через нее P(I)=U(I) I=U_0 I_0\left(\frac{I}{I_0}\right)^3=\frac{27}{64} P_0 \Rightarrow I=\frac{3}{4} I_0 .

Таким образом, U_0-\frac{3}{4} I_0 r=\frac{9}{16} U_0 \Rightarrow r=\frac{7}{12} \frac{U_0}{I_0} .

При подключении гирлянды из n ламп к k батареям все лампы работают в номинальном режиме, если k\left[U_0-I_0 r\right]=n U_0 \Rightarrow 5 k=12 n .

Минимальное целочисленное решение соответствует n=5 , при k=12 .

Ответ 5 ламп; 12 батарей.

Задача 7

Условие

В «чёрном ящике» находятся резистор, имеющий постоянное сопротивление, и нелинейный элемент, которые могут быть включены как последовательно, так и параллельно. Найдите сопротивление резистора. Какой нелинейный элемент может находиться внутри «чёрного ящика»? Вольт-амперные характеристики для последовательного и параллельного включений элементов представлены на рисунке.

8_2_1д_12 Решение

Характеристика нелинейного элемента проходит через ноль и является довольно гладкой, поэтому можно считать, что при малых токах через нелинейный элемент напряжение на нем оказывается приблизительно пропорциональным току, т. е. начальные участки кривых для параллельного и последовательного соединений соответствуют просто параллельному и последовательному соединениям обычных резисторов, один из которых - искомый, а другой - эквивалент нелинейного элемента при малых токах через него.

Итак, используем начальные участки заданных кривых, проведем касательные к ним и найдем сопротивления, которым они соответствуют: r_{\text {пар}} \approx 2.5 \ Ом, r_{\text {посл}} \approx 140 \ Ом.

Обозначим сопротивление нелинейного элемента (при малых напряжениях) r . Тогда \begin{aligned}

& R+r=14 \ Ом;\\

& \frac{R r}{R+r}=2.5 \ Ом.

\end{aligned}

Для R получаем квадратное уравнение: R^2-14 \ Ом \ R + 36 \ Ом =0,

откуда R_1=(7+\sqrt{14}) \ Ом \approx 10.8 \ Ом, R_2=(7-\sqrt{14}) \ Oм \approx 3.2 \ Ом.

Второе значение явно не подходит, поэтому окончательно R \approx 11 \ Ом.

Теперь строим характеристику нелинейного элемента и получаем, что это, скорее всего, лампочка.

Ответ R \approx 11 \ Ом; Лампочка.