Задачи о контуре с током в магнитном поле.: Семинар 2

Пример 10* (Регион ВсОШ, 2019, «Магнитная пружина»)

Условие

Невесомый гибкий провод с током I образует замкнутую петлю длиной L , которая соприкасается с вертикальной стенкой и гранью куба массой m . Система находится в магнитном поле B , перпендикулярном плоскости рисунка. Исходно куб удерживают на расстоянии x_0 от стенки.

1) До какой наибольшей скорости \upsilon_m разгонится куб, если его отпустить?

2) Через какое время t_m будет достигнута эта скорость?

Примечание. Считайте, что при движении куба провод остаётся в одной вертикальной плоскости.

image.png

Решение

Как нам известно из лекции, любой участок легкого провода, не контактирующего со стенкой или гранью куба, является дугой окружности с радиусом кривизны, который связан с силой натяжения провода соотношением R = T / (IB) = const . Кроме того, нам ясно, что сила натяжения – конечная величина, а остальные силы (сила Ампера, сила реакции стенки или грани куба) для любого элемента – бесконечно малые величины (порядка Dl ), поэтому угол поворота провода на любом участке – тоже бесконечно малая величина порядка Dl . Это означает, что в состоянии равновесия провод не имеет изломов. Поэтому можно сделать вывод, что в каждый момент времени после отпускания системы невесомый провод, находящийся в «квазиравновесном» состоянии, состоит из двух одинаковых полуокружностей с диаметром, равным x , и двух одинаковых линейных участков, прижатых к стенке и грани куба. Следовательно, длина линейного участка провода, соприкасающегося с гранью куба, равна l(x) = (L - \pi x)/2 . Куб разгоняется за счёт давления этого участка, которое возникает из-за силы Ампера F_A = I B l(x) = I B (L - \pi x)/2 . Поэтому разгон, начинающийся при x = x_0 , заканчивается при x = L/\pi , когда провод перестаёт соприкасаться с гранью куба.

image.png

Обратим внимание, что поведение разгоняющий силы в точности совпадает с поведением силы упругости пружины длиной L/\pi с коэффициентом жёсткости k = \pi I B / 2 . Поэтому движение в процессе разгона соответствуют четверти периода гармонических «колебаний» на пружине от начальной деформации y_0 = \frac{L}{\pi} - x_0 до «положения равновесия».

Максимальная скорость разгона \upsilon_m = \omega y_0 = y_0 \sqrt{\frac{k}{m}} = \left(\frac{L}{\pi} - x_0\right) \sqrt{\frac{\pi I B}{2 m}}.

Другой способ вычисления максимальной скорости – это использование закона изменения кинетической энергии. Поскольку сила, действующая на куб, зависит линейным образом от его перемещения, то её работу можно вычислить как площадь под графиком F(x) = IB(L - \pi x)/2 . Следовательно, изменение кинетической энергии куба в процессе разгона \frac{m \upsilon_m^2}{2} = A_F = \frac{1}{2} F_0 \left(\frac{L}{\pi} - x_0\right) = \frac{\pi I B}{4}\left(\frac{L}{\pi} - x_0\right)^2, то есть \upsilon_m = \sqrt{\frac{\pi I B}{2 m}} \left(\frac{L}{\pi} - x_0\right) . Время разгона равно четверти «периода колебаний»: t_m = \frac{\pi}{2 \omega} = \sqrt{\frac{\pi m}{2 I B}}.

Пример 11*

Условие

Участок гибкого деформируемого провода массой m подвешен так, что его концы закреплены на одинаковой высоте на расстоянии D друг от друга (см. рисунок). Провод находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией B , и по нему течёт ток I . Силы реакции, действующие на провод в точках подвеса, образуют угол \alpha с горизонтом. Найдите силы натяжения провода в его нижней точке и в точках подвеса. Размеры D и h известны.

image.png

Решение

Обозначим нижнюю точку провода через A , точки подвеса – через B и C . Введем в плоскости провода декартову прямоугольную систему координат, направив ось X вправо, ось Y – вверх; обозначим координаты точек A и C как (x_A; y_A) и (x_C; y_C) . Рассмотрим участок провода AC . На него действуют направленная вниз сила тяжести \frac{mg}{2} , направленная влево сила T натяжения нити в нижней точке A , направленная под углом \alpha к горизонту сила натяжения нити F в точке C и сила Ампера F_{магн} , действующая со стороны магнитного поля. Запишем условия равновесия участка AC в проекциях на оси X и Y : F_{x}^{магн} + F \cos\alpha - T = 0, \quad F_{y}^{магн} + F \sin\alpha - \frac{mg}{2} = 0. Выражая из второго соотношения величину силы натяжения в верхней точке F = \frac{mg/2 - F_{y}^{магн}}{\sin\alpha} и, подставляя ее в первое уравнение, находим силу натяжения нити в нижней точке: T = F_{x}^{магн} + \left(\frac{mg}{2} - F_{y}^{магн}\right) ctg\alpha .

Для получения ответа нужно еще найти компоненты силы Ампера F^{магн} . Рассмотрим маленький отрезок провода длиной \Delta l , составляющий угол \gamma с горизонтом и расположенный между точками с координатами (x; y) и (x + \Delta x; y + \Delta y) , где \Delta x = \Delta l \cos\gamma , \Delta y = \Delta l \sin\gamma (см. рисунок).

image.png

На этот участок действует сила Ампера \Delta F^{магн} , равная по модулю IB \Delta l и направленная под углом \gamma к вертикали. Эта сила имеет компоненты \Delta F_{x}^{магн} = \Delta F^{магн} \sin\gamma = IB \Delta l \sin\gamma = IB \Delta y \quad и \quad \Delta F_{y}^{магн} = -\Delta F^{магн} \cos\gamma = -IB \Delta l \cos\gamma = -IB \Delta x. Складывая силы Ампера, действующие на все малые отрезки участка AC провода, находим: F_{x}^{магн} = IB(y_C - y_A) = IBh, \quad F_{y}^{магн} = -IB(x_C - x_A) = -IB \frac{D}{2}. Подставляя эти выражения в формулу для сил натяжения провода, приходим к ответу: сила натяжения провода в нижней точке T = IBh + \frac{mg + IBD}{2} ctg\alpha , а в верхней F = \frac{mg + IBD}{2 \sin\alpha} .

Важным результатом, полученном в этом примере, являются формулы для компонент силы Ампера, действующих на изогнутый провод с током: величина проекции силы Ампера на некоторую ось равна длине проекции отрезка, соединяющего концы провода, на перпендикулярную ось, умноженной на IB . Кроме того, можно, сопоставив полученные выражения с формулой, полученной в примере 4 из лекции 3, которая в обозначениях этой задачи записывается как F \cdot T = mg \frac{h}{L} (где L – длина провода), обнаружить, что между расстояниями (глубиной провиса, длиной провода и расстоянием между точками подвеса) и углом наклона провода к горизонту в точке подвеса существует связь: tg\frac{\alpha}{2} = \frac{2h(mg + IBL)}{L(mg + IBD)}.