Магнитные диполи: поле диполя и взаимодействие диполя с внешним полем.: Лекция 6

Часть I: Поле диполя как приближение поля контура с током. Элементарные диполи.

image.png

Магнитные поля, создаваемые многими источниками – небольшими постоянными магнитами, или небольшими контурами с током - на достаточно большом расстоянии от этих источников принимают некоторый «характерный» вид, который называют полем магнитного диполя. Диполь («двухполюсник») – это система двух зарядов, и в случае электрического поля именно так и возникают электрические диполи (см. первый рисунок). Магнитных зарядов («магнитных монополей») в природе пока не обнаружено – все имеющиеся у нас магниты имеют два полюса (называемые обычно «северный» и «южный» - второй рисунок).

image.png

Наша планета также является магнитом, и у нее тоже есть аналогичные полюса. Полезно знать одну особенность ее полюсов: в географии «северным» магнитным полюсом Земли называют «южный» по физическому определению и наоборот: изначально эти названия и отталкивались от географического положения полюсов, а у постоянных магнитов (таких, как стрелки компасов) «северным» стали называть тот полюс, который притягивается к географическому «северному магнитному полюсу» Земли. Между тем как притягиваются друг другу именно разноименные полюса. Сейчас в физике для всех магнитов (исключая Землю) «северным» называют полюс, из которого «выходят» линии магнитной индукции, а «южным» - тот, в который они «входят».

Аналитическое выражение для индукции поля магнитного диполя описывается следующей формулой: \vec{B} \approx \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{3\vec{r}(\vec{m}\cdot\vec{r})}{r^5} - \frac{\vec{m}}{r^3} \right).

Величина \vec{m} называется магнитным дипольным моментом контура. Ранее мы рассматривали достаточно сложный пример, в котором исследовали магнитное поле кругового контура на очень больших (намного больше диаметра контура) расстояние от него, и убедились, что оно описывается именно таким выражением, и вычислили магнитный момент кругового контура. На самом деле полученная в этом примере формула справедлива для любого плоского контура: если площадь плоского контура с током I равна S , и он расположен в плоскости xy так, что ток в нем при взгляде «навстречу» оси z циркулирует против часовой стрелки, то его магнитный момент \vec{m} = I S \cdot \vec{e}_z (то есть вектор \vec{m} перпендикулярен плоскости контура). Как видно, единица измерения магнитного момента в единицах СИ – это А \cdot м ^2 . Полезно заметить, что площадь контура по величине порядка квадрата его «характерного размера» l (площадь квадрата – квадрат его стороны, площадь круга – квадрат диаметра, умноженный на \frac{\pi}{4} и так далее). Поэтому величина магнитной индукции на расстоянии r \gg l от контура порядка B \approx \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{l^2}{r^3} . Тут можно выделить два важных соображения. Первое – то, что при использовании «дипольной» формулы для описания поля контура вносимая в вычисления ошибка порядка \delta B \approx \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{l^3}{r^4} \approx B \cdot \frac{l}{r} . Это соображение позволяет оценивать точность дипольного приближения. Второе – то, что с удалением от контура на больших расстояниях магнитное поле убывает быстрее, чем поле «элементарного объекта» в электростатике – как мы знаем, напряженность электрического поля точечного заряда \vec{E} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^3} \vec{r} убывает с ростом расстояния обратно пропорционально квадрату расстояния, в то время как у магнитного диполя – обратно пропорционально кубу расстояния. Естественное объяснение этого факта как раз в том и состоит, что в первом случае мы рассматриваем поле электрического монополя («однополюсника», причем для электрического диполя |\vec{E}| тоже убывает обратно пропорционально кубу расстояния), а во втором – магнитного диполя. Начиная с XIX века многие физики указывали, что мир электромагнитных явлений выглядел бы более «симметричным», если бы существовали и магнитные монополи (заряды), которые создавали бы магнитные поля вида \vec{B} = \frac{\mu_0 q_m}{4\pi r^3} \vec{r} .

Более того – такие идеи есть и в современной физике микромира. Поэтому физики-экспериментаторы с большим упорством ищут такие объекты уже почти двести лет. Но пока так и не нашли. Хотя они даже научились создавать их искусственно (на самом деле это некоторые узкие и длинные «трубки», по которым течет магнитный поток и вытекает из «почти точечного» отверстия на конце трубки – тогда магнитное поле вблизи этого конца очень похоже на поле магнитного заряда). Впрочем, в теориях физики микромира, предсказывающих возможность существования магнитных монополей, одновременно предсказывается, что обнаружить их экспериментально будет очень тяжело из-за чрезвычайно низкой концентрации этих монополей в современной Вселенной.

А вот с магнитными диполями мы сталкиваемся постоянно – как было отмечено в самом начале, есть много реально существующих макроскопических объектов, которые с хорошей точностью похожи на магнитные диполи – это постоянные магниты и контура с током. Более того, многие частицы микромира – электроны, атомные ядра, протоны и нейтроны – тоже имеют ненулевые магнитные моменты (то есть являются «элементарными диполями»). Но их описание нельзя строить на основании классической физики – нужно учитывать квантовые особенности их поведения. Так что изучение атомного и ядерного магнетизма выходит за рамками этого курса – эти вопросы рассматриваются именно в рамках курса «атомная и ядерная физика». Главные вопросы, посвященные магнитным диполям в этом курсе – это исследование магнитного поля диполей и изучение действия магнитных полей, созданных другими источниками, на магнитные диполи.

Пример 1: Определите максимальную и минимальную величину магнитной индукции поля магнитного диполя с моментом \vec{m} на расстоянии r от него. В каких точках эти значения достигаются?

Решение:

image.png

Пусть \vartheta – угол между \vec{m} и направлением на точку наблюдения. Из симметрии системы (картина поля явно не изменяется при повороте вокруг оси, заданной направлением \vec{m} ) понятно, что модуль индукции зависит только от r и \vartheta . Выделим из вектора магнитной индукции, определяемого дипольной формулой \vec{B} \approx \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{3\vec{r}(\vec{m}\cdot\vec{r})}{r^5} - \frac{\vec{m}}{r^3} \right) , составляющие, параллельные и перпендикулярные \vec{m} . Для этого заметим, что (\vec{m} \cdot \vec{r}) = m \cdot r \cdot \cos(\vartheta) , и что соответствующие проекции вектора \vec{r} равны r_{\parallel} = r \cdot \cos(\vartheta) и r_{\perp} = r \cdot \sin(\vartheta) : \vec{B} \approx \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{3\vec{r}(\vec{m}\cdot\vec{r})}{r^5} - \frac{\vec{m}}{r^3} \right) = \vec{B}_{\parallel} + \vec{B}_{\perp} = B_{\parallel} \cdot \vec{e}_{\parallel} + B_{\perp} \cdot \vec{e}_{\perp} \Rightarrow

\left\{\begin{array}{l}

B_{\parallel} = \frac{\mu_0 m}{4\pi r^3} [3 \cos^2(\vartheta) - 1] \\

B_{\perp} = \frac{3 \mu_0 m}{4\pi r^3} \sin(\vartheta) \cos(\vartheta)

\end{array}\right. . Нас интересует модуль вектора индукции, равный B = \sqrt{B_{\parallel}^2 + B_{\perp}^2} = \frac{\mu_0 m}{4\pi r^3} \sqrt{1 + 3 \cos^2(\vartheta)}. На заданном расстоянии от диполя (то есть на сфере радиусом r ) величина магнитной индукции зависит только от \vartheta , и ясно, что максимальное значение достигается при \cos^2(\vartheta) = 1 (то есть при \vartheta = 0 и \vartheta = \pi – на оси диполя, причем в обеих точках вектор индукции направлен по вектору \vec{m} ) и равно B_{max} = \frac{\mu_0 m}{2\pi r^3} , а минимальное – соответствует \cos^2(\vartheta) = 0 ( \vartheta = \pi/2 – на всей окружности, плоскость которой перпендикулярна этой оси, а вектор индукции направлен против \vec{m} ) и равно B_{min} = \frac{\mu_0 m}{4\pi r^3} .